[Home][Auteur: Ben Dijkhuis][Laatste update: 30-09-2016][Hoofdstuk: Introductie][Gebruiksvoorwaarden]

Stemmingen, intonatie en tempereringen

INHOUD van deze pagina (verberg)

  1. 1. Inleidende terminologie
  2. 2. Het natuurlijke toonsysteem
  3. 3. Het pythagoreïsche systeem
  4. 4. Inzake intonatie en instrumentstemming
    1. 4.1 Intonatie
    2. 4.2 Stemming van toetsinstrumenten
    3. 4.3 Toonschreden. De eenheid cents
    4. 4.4 Tempereringen
    5. 4.5 De ¼-komma middentoontstemming
    6. 4.6 De ¹/3-komma middentoontstemming
    7. 4.7 Selectiestemmingen
    8. 4.8 Evenredig zwevende temperatuur
    9. 4.9 Stemming van de luit
  5. 5. Stemming en temperering van de insulaire harp
    1. 5.1 Stemming van de Ierse harp naar Bunting
    2. 5.2 Stemming van de Welshe harp voor cerdd dant
  6. 6. De stemming en temperering van de Great Highland Bagpipe (GHB)
    1. 6.1 De stemming van de GHB
    2. 6.2 Pitchhoogte van de 'A'
    3. 6.3 Temperering van de GHB
  7. 7. Intonatie bij de uilleann pipes
  8. 8. Intonatie bij sean-nós-zang
  9. 9. Intonatie bij het volkslied in Wales
  10. 10. Annotaties en bronnen
    1. 10.1 Voetnoten
    2. 10.2 Geraadpleegde bronnen
    3. 10.3Aanvullende informatie

1. Inleidende terminologie

Lees eerst van dit hoofdstuk het onderdeel: Elementen van de muziek: Toon. Hierin komen de volgende termen aan bod, die belangrijk zijn voor het lezen van deze pagina: geluid, geluidsgolven, trillingen, trillingsgetal of frequentie, de eenheid van het trillingsgetal Herz (Hz), boventonen en timbre. Resumerend:

Lees vervolgens van dit hoofdstuk het onderdeel Toonladders en intervallen. Hierin worden de volgende termen besproken: stamtoonladders, octaven, diatoniek, intervallen: prime, secunde, terts, kwart, kwint, etc.. Kleine, grote, overmatige en verminderde intervallen, enharmonische gelijkheid en chromatiek.

Andere zaken die van belang zijn:

2. Het natuurlijke toonsysteem

Bij het aanslaan van bijvoorbeeld een snaar, treedt er niet slechts één soort toon op, want naast deze ene grondtoon, blijken er veel meer trillingen op te treden die verantwoordelijk zijn voor het klinken van die snaar. Deze trillingen samen vormen een serie tonen, waarvan de frequenties een gehele veelvoud zijn van de grondtoon. Deze tonen worden aangegeven met de term 2e harmonische, dat is de toon met een tweemaal zo hoge frequentie als de grondtoon, vervolgens met 3e harmonische, die een frequentie heeft van 3× de frequentie van grondtoon, etc. Er zijn veel boventonen, doch het onderstaande voorbeeld geeft er zestien, uitgaande van de grondtoon C (van het groot octaaf). Deze C noemt men dan de 1e harmonische met een frequentie van 66 Hz.

De grondtoon C (66 Hz) en vijftien van de meeklinkende boventonen.

In bovenstaande figuur zijn de tonen, die precies een serie octaven op C opleveren met zwart aangeven. Dit zijn steeds verdubbelingen van de frequenties: resp. genummerd met 1, 2, 4, 8 en 16, die dan resp. de tonen C, c, c1, c2 en c3 opleveren. Rood begint met een trillingsgetal van 3× de grondtoon (3e harmonische). Dit is een toon g, die een kwint boven c staat. De verdubbeling hiervan (2 × 3 = 6e harmonische), geeft de toon g1. Een paar tonen wijken af van onze toonsystemen, waardoor ze niet geheel zuiver klinken. Deze worden met een plusje (iets te hoog) of minnetje (iets te laag) aangegeven. Dit zijn de zgn. ekmelische boventonen. Dit zijn veelvouden van de grondtoon ter grootte van de priemgetallen 7, 11, 13, 17, etc. en de veelvouden daarvan: 14, 22 etc. De overige, welluidende boventonen heten emmelische boventonen. De intensiteit van de afzonderlijk boventonen, bepaalt de klankkleur of timbre van stem of instrument (Willemze, 1975).
Vanuit de natuurtonen kan men een toonladder construeren, waarvan de intervallen natuurzuiver zijn. De stemming die deze natuurzuivere intervallen met zich meebrengt heet reine stemming. Aan de hand van de frequentieverhoudingen zijn alle natuurzuivere intervallen te berekenen.

We kunnen de harmonische trillingen eveneens illustreren door middel van de onderstaande afbeelding, die zeven mogelijkheden van bijvoorbeeld vrije trillingen in een trillingslichaam (b.v. snaar, orgelpijp) toont. Deze kunnen bijvoorbeeld als z.g.n. flageolettonen op een snaarinstrument worden geproduceerd.

De eerste zeven harmonische tonen, voorgesteld als mogelijkheden van vrije trillingen van een trillingslichaam (snaar, orgelpijp, etc), waarmee het verband tussen frequentie en lengte wordt geïllustreerd.
Bron: Wikipedia

Als de snaarlengten in tweeën, drieën, vieren of vijven wordt verdeeld, ontstaan steeds hogere tonen waarvan de frequenties zich als gehele getallen van de grondtoon verhouden, resp. 2 : 3 : 4 : 5. Bijvoorbeeld, als de grondtoon C (66 Hz) is, dan levert zo'n snaarverdeling resp. de frequenties 132, 198, 264 en 330 Hz op. Deze tonen komen als natuurzuiver op het gehoor over, omdat de frequentiegetallen mooi met de betreffende tonen van de boventoonreeks overeen komen. De verhouding van de trillingsgetallen kunnen we mooi illustreren door middel van het volgende figuur, waarbij dit keer de grondtoon c1 wordt gebruikt:

De verhouding van de lengte van het trillingslichaam (snaar, pijp), de bijbehorende verhouding van trillingsgetallen en de bijhorende tonen, als men uitgaat van de grondtoon c1.

De vijf tonen met deze specifieke trillingsgetalverhoudingen, behoren tot de z.g.n. reine stemming. De overige tonen kunnen uit deze vijf worden berekend, zodat de reine diatonische toonladder kan worden vastgelegd. Vanuit het figuur lezen we de volgen de intervallen:
Het rein octaaf heeft een verhouding van c2 : c1 = c3 : c2 = 2 : 1 Een reine kwint met de verhouding g2 : c2 = 3 : 2 Een reine kwart met de verhouding c3 : g2 = 4 : 3 Een grote terts met de verhouding e3 : c3 = 5 : 4 Een grote sext met de verhouding e2 : g2 = 5 : 3 Een groot decime met de verhouding e3 : c2 = 5 : 2

Uit deze bovenstaande verhoudingen, zijn de overige intervallen te berekenen: Bijvoorbeeld: de kleine terts is een octaaf minus een grote sext: Octaaf: c3 : c2 = 2 : 1 = 6 : 3 Grote sext: a2 : c2 = 5 : 3 Kleine terts: c3 : a2 = 6 : 5

Het is niet bedoeling om alle berekeningen te laten zien, daarom geef ik hier het resultaat van de diatonische intervallen.

Reine prime Kleine secunde of diatonische halve toon Grote secunde of hele toon Kleine terts Grote terts Reine kwart Overmatige kwart Verminderde kwint Reine kwint Kleine sext Grote sext Klein septiem Groot septiem Rein octaaf
1 : 1 16 : 15 9 : 8 6 : 5 5 : 4 4 : 3 25 : 18 36 : 25 3 : 2 8 : 5 5 : 3 16 : 9 15 : 8 2 : 1
10 : 9 45 : 32 64 : 45 9 : 5

Opvallend zijn twee waarden van de kleine septiemen, overmatige kwarten en verminderde kwinten. Dit is het gevolg van het bestaan van twee grote secunden, die als volgt worden berekend:
reine kwint g : c = 3 : 2 = 12 : 8
reine kwart g : d = 4 : 3 = 12 : 9
grote secunde d : c = 9 : 8
Deze grote secunde wordt grote hele toon genoemd.

en

reine kwart g : d = 4 : 3 = 12 : 9
kleine terts g : e = 6 : 5 = 12 : 10
grote secunde e : d = 10 : 9
Deze grote secunde heet kleine hele toon

Het verschil tussen de grote en kleine hele toon wordt de komma van Didymos (didymische komma) of syntonische komma:
grote hele toon 9 : 8 = 90: 80
kleine hele toon 10 : 9 = 90 : 81
syntonische komma: 81 : 80

Een snelle manier voor 'optellen' of 'aftrekken' van intervallen kan als volgt: De frequentieverhouding van het interval, dat men verkrijgt uit het verschil van twee andere intervallen, wordt verkregen door de frequentieverhoudingen op elkaar te delen:
Dus de syntonische komma verkrijgt men snel dus door: grote hele toon - (minus) kleine hele toon = 9/8 ÷ 10/9 = 9/8 × 9/10 = 81/80

Sommatie van intervallen verkrijgt men door de breuken met elkaar te vermenigvuldigen.
De grote terts (5 : 4) is samengesteld uit de stapeling van een grote hele toon en kleine hele toon.
Grote terts: grote hele toon + kleine hele toon = 9/8 × 10/9 = 90/72 = 45/36 = 5/4. Dit laatste resultaat komt ook perfect overeen met de kleine terts in de boventoonreeks.

De volgende afbeelding toont de reine of natuurzuivere diatonische reeks, de toonladder van C (majeurtoonladder), waarin de intervallen ten opzichte van grondtoon c1 zijn aangegeven, alsmede de posities van de kleine secunden en die van de grote en kleine hele tonen. Deze reeks staat ook bekend als de Ptolemeïsche reeks, naar Ptolemeus (2e eeuw), die deze reeks intervallen aanduidde met 'intens diatonisch' (Parch, 1974) of 'diatonisch syntanon' (Barbour, 1951) (noot 1).

De diatonische natuuurreeks (majeur), bovenaan met de frequentieverhoudingen ten opzichte van de grondtoon (de laatste staat in de teller van de breuk). Onderin de afbeelding staan de posities van de grote en kleine hele toon, alsmede de diatonische halve tonen weergegeven.

Rest nog de bespreking van enkele termen.
Te beginnen met de chromatische halve tonen. Dit zijn binnen de reine stemming: de kleine halve toon en het kleine limma (Willemze, 1975).
De kleine halve toon is de verschiltoon van de kleine hele toon (10 : 9, b.v. d - e) en de kleine secunde (16 : 15, b.v. d - e♭). De 'chromatische' kleine halve toon wordt derhalve: 10/9 × 15/16 = 150/144 = 75/72 = 25/24.

Het kleine limma is het verschil van de grote hele toon (9 : 8, b.v. c - d) en de kleine secunde (16 : 15, b.v. c - d♭). Het kleine limma is dan: 9/8 × 15/16 = 135/128.

Het verschil-interval tussen twee enharmonische tonen (het z.g.n. enharmonisch interval) in de reine stemming, zijn de kleine diesis en het diaschisma. Van welke van de twee sprake is, hangt af vanuit welk toongebied ze worden berekend.
Is dit toongebied een kleine hele toon, dan is er sprake van kleine diesis:
Bijvoorbeeld binnen het toongebied d - e (een kleine hele toon), zijn twee enharmonische tonen mogelijk, namelijk de d♯ en de e♭:
d - e♭ is een kleine secunde (16/15) en d♯ : d is een kleine halve toon (25/24).
Het verschilinterval, de kleine diesis (d♯ - e♭) is derhalve 16/15 × 24/25 = 384/375 = 128/125 (= 2048/2000)

Is het betreffende toongebied een grote hele toon, dan verkrijgt men het diaschisma:
Bijvoorbeeld binnen het toongebied c - d (een grote hele toon), bevinden zich de enharmonische tonen de c♯ en d♭:
c♯ - d is een kleine secunde (16/15) en d♭ - d is een klein limma (135/128). Het verschilinterval, het diaschisma (c♯ - d♭) is dus 16/15 × 128/135= 2048/2025

Hieruit blijkt het fysische verschil van enharmonische tonen in de reine stemming, waarin het interval diaschisma duidelijk nauwer is dan de kleine halve toon.

Hele kleine intervallen zoals de syntonische komma, kleine diesis en diaschisma worden vaak microintervallen genoemd.

3. Het pythagoreïsche systeem

De pythagoreïsche stemming is een wijze van toonzetting, die aan de naam van de Griekse geleerde Pythagoras van Samos (6e - 5e eeuw v.C.) is toegeschreven. Tijdens de middeleeuwen werd deze stemming, als standaard beschouwd. In tegenstelling met het natuurlijke systeem, waarin vier intervallen (octaaf, terts, kwart en kwint) de basis vormden voor de verdere berekeningen, is het pythagoreïsche systeem gebaseerd op slechts twee, namelijk de kwint en het octaaf.

Zie ook: onder het hoofdstuk Toonsystematiek: Griekse toonladdertheorieën en modaliteit, Laat-Romeinse en middeleeuwse muziektheorieën.

Enkele berekeningen voor het pythagoreïsch systeem.
1. de reine kwart, die als de omkering van reine kwint kan worden beschouwd, dat betekent het octaaf minus kwint: 2/1 ÷ 3/2 = 2/1 × 2/3 = 4/3

2. de grote secunde. Deze gaat als volgt: reine kwint + reine kwint - octaaf [b.v. (c - g) + (g - d1) - (d - d1)]:
3/2 × 3/2 ÷ 2/1 = 9/4 × 1/2 = 9/8
Uit deze berekening blijkt dat, in tegenstelling met het natuurlijk systeem, slechts één type grote secunde (hele toon) bestaat.

3. de grote sext. Dit is de som van een reine kwint en een grote secunde: 3/2 × 9/8 = 27/16

4. grote terts: grote sext + reine kwint - rein octaaf [b.v. c - e verkrijgt men uit (c -a ) + (a - e1) - (e - e1)]:
27/16 × 3/2 ÷ 2/1 = 27/16 × 3/2 × 1/2 = 81/64 (feitelijk de som van twee grote hele tonen uit het natuurstelsel: 9/8 × 9/8 = 81/64)

5. kleine secunde: reine kwart terts - grote terts = 4/3 ÷ 81/64 = 4/3 × 64/81 = 256/243. Dit interval, de pythagoreïsche (diatonische) halve toon wordt limma genoemd. De limma (256/243) is een syntonische komma (81/80) kleiner dan de natuurlijke kleine secunde (16/15):
16/15 ÷ 256/243 = 16/15 × 243/256 = 3888/3840 = 81/80.

De volgende afbeelding toont de pythagoreïsche diatonische reeks, als de toonladder van C (majeurtoonladder), waarin de intervallen ten opzichte van grondtoon c1 zijn aangegeven, alsmede de posities van de kleine en grote secunde.

De diatonische pythagoreïsche reeks (majeur) met bovenaan, de frequentieverhoudingen ten op zichte van de grondtoon (de laatste staat in de teller van de breuk). Onderin de afbeelding staan de posities van de grote en kleine secunden weergegeven.

Het berekende totaalbeeld levert:

Reine prime Kleine secunde of diatonische halve toon
(limma)
Grote secunde of hele toon Kleine terts Grote terts Reine kwart Overmatige kwart Verminderde kwint Reine kwint Kleine sext Grote sext Klein septiem Groot septiem Rein octaaf
1 : 1 256 : 243 9 : 8 32 : 27 81 : 64 4 : 3 729 : 512 1024 : 729 3 : 2 128 : 81 27 : 16 16 : 9 243 : 128 2 : 1

Uit dit overzicht mag het duidelijk zijn, dat het pythagoreïsche systeem veel meer complexere breuken dan het natuurlijke systeem oplevert. Doch, zoals we zagen, kent het wel het voordeel van slechts één soort grote secunde. Die feitelijk gelijk is aan de grote hele toon van de natuurtonenreeks (8/9). Er is ook één pythagoreïsche diatonische halve toon (limma, 256/243). Hieruit valt de chromatische halve toon te berekenen, die apotome wordt genoemd.
Dit kan toegelicht worden met het voorbeeld, waarin c-d de grote secunde (pythagoreïsche hele toon, 9/8) is, en c-d♭ de limma. Het verschil-interval is de chromatische halve toon d♭-d.
De trillingsgetal-verhouding van deze chromatische halve toon is dan als volgt te berekenen:

apotome = pythagoreïsche hele toon - limma → 9/8 ÷ 256/243 = 9/8 × 243/256 = 2187/2048.

Het enharmonisch interval, b.v. d♭-c♯ en wordt de pythagoreïsche komma of ditonische komma genoemd. Dit zogenaamde microinterval valt te berekenen uit b.v.:

pythagoreïsche komma (d♭ - c♭) = chromatische halve toon (d♭ - d) - limma (c♯ - d) → 2187/2048 ÷ 256/243 = 2187/2048 ÷ 243/256 = 531441/524288

Bij benadering is pythagoreïsche komma ongeveer gelijk aan 74/73. Dit levert een interessant fenomeen op. Als we het natuurlijke en pythagoreïsche systeem naast elkaar zetten, dan blijkt dat in de reine stemming de chromatisch halve toon (kleine halve toon = 25/24 = 1,0417 of klein limma = 135/128 = 1,0547) nauwer is dan de diatonische (16/15 = 1,0667).
In de pythagoreïsche stemming is dat precies andersom, daarin is de chromatische halve toon (2187/2048 = 1,0678) groter dan de diatonische (256/243 = 1,05350). Dus bij het pythagoreïsche systeem ligt b.v. de c♯ hoger dan de d♭ (dus ook: d♯ hoger dan e♭, etc.).

Andere intervallen:
De grote diesis is het verschilinterval tussen de limma en kleine diesis : 256/243 ÷ 128/125 = 256/243 × 125/128 = 32000/31104 = 250/243
Het grote limma is de som van een kleine diesis en klein limma: 125/128 × 128/135 = 25/27
Het uiterst kleine microinterval schisma is het verschil tussen de pythagoreïsche een syntonische komma: 531441/524288 ÷ 81/80 = 531441/524288 × 80/81 = 42515280/42467328 = 32805/32768

4. Inzake intonatie en instrumentstemming

4.1 Intonatie

Dan is de vraag, wanneer en hoe worden de voorgaande toonsystemen toegepast. Het mag duidelijk zijn dat een muziekinstrument, bijvoorbeeld een harp, piano of met fretten uitgevoerde snaarinstrumten (luit, gitaar, mandoline etc.), volgens een bepaalde voorkeurstemming staat ingesteld, waarmee de mogelijkheid van subtiele toonaanpassingen of intoneren tijdens het spelen, is uitgesloten. Met andere woorden, dat het dan niet mogelijk is om de toon op het gehoor zodanig aan te passen, dat deze voor de uitvoerder zo welluidend mogelijk geproduceerd kan worden.
Dat ligt anders met bijvoorbeeld fretloze snaarinstrumenten, zoals de viool of cello of de menselijke stem. De musiceerpraktijk op deze instrumenten, doch ook door de menselijke zangstem geeft alle vrijheid voor intonatie. De musicus zal immers zijn muziek zo zuiver mogelijk willen uitvoeren en zal daarbij onbewust, al intonerend, van meerdere systemen gebruik maken. In dit verband, is het volgende citaat van Theo Willemze op z'n plaats (Willemze, 1975):

"In de praktijk speelt de violist en zingt men de stamtoonreeks stijgend in de reine stemming volgens Aristoxenus, dalend volgens Zarlino. (Stijgend soms ook volgens Pythagoras - vooral de bespelers van strijkinstrumenten doen dit graag, om de helderder klank van de pythagoreïsche toonladder.)"(noot 1)

Het is bekend, dat bij een moderne instrumentstemming, zoals de evenredig zwevende temperatuur (dit onderwerp wordt nog verderop besproken), de zo zuiver mogelijke intonatie van de violist, zanger(-es) of koor, storende verschillen met de tonen van het meespelende instrument kan veroorzaken.

4.2 Stemming van toetsinstrumenten

De reine stemming is voor toetsinstrumenten (allicht ook voor de gefrette snaarinstrumenten en b.v. geboorde blaasinstrumenten) ongeschikt. De reine toonladder klinkt mooi als de grote en kleine halve toon (9/8 en 10/9) elkaar resp. opvolgen. Zodra deze volgorde wordt omgedraaid, klinkt de toonladder vals. Omdat bijvoorbeeld een majeur toonladder die een D begint, met een kleine hele toon (10/9) begint, kan deze toonschaal nooit zuiver worden uitgevoerd.
De pythagoreïsche stemming is meer geschikt voor toetsinstrumenten, ondanks de iets minder zuivere kleine en grote tertsen, sexten en septiemen. Deze geschiktheid boven het natuurlijk systeem, is te danken aan het feit dat de basis van de stemming is geënt op een stapeling van reine kwinten en het principe dat alle grote secunden aan elkaar gelijk zijn.

Er doet zich binnen het pythagoreïsche systeem echter nog een onvolkomenheid voor. Als we ons even de toonreeks van 12 gestapelde kwinten voorstellen door middel van de oplopende serie:

E♭ - B♭ - F - c - g - d1 - a1 - e2 - b2 - f♯4 - c♯5 - g♯5 - d♯6

De tonen d♯6 en e♭6 zijn enharmonische tonen, waarvan we weten dat het verschil tussen deze twee een pythagoreïsche komma (524288/531441) bedraagt, waarbij de d♯ hoger is dan de e♭ doch bij het een toetsinstrument moet één van de twee tonen gekozen worden. Men heeft gekozen voor de e♭, zoals dat reeds gold voor de zeven octaven lager liggende E♭. Een en ander heeft consequenties voor de laatste kwint van de serie, feitelijk is dit interval G♯4 - E♭5 (feitelijk een verminderde sext).

Het interval E♭-d♯6 is een stapeling van 12 reine kwinten, die derhalve (3/2)12 bedraagt. E♭-e♭6 zijn een interval van zeven gestapelde octaven, en bedraagt dus (2/1)7

Het intervalverschil is (3/2)12 ÷ (2/1)7 = (3/2)12 × (1/2)7 = (312)/(219) =531441/524288 Hieruit volgt dat de laatste berekende kwint van de serie G♯ - D♯, de pythagoreïsche komma groter dan de G♯ - E♭. Omdat juist gekozen is voor de E♭ onder de zwarte toets, is de laatste 'kwint' derhalve het interval G♯ - E♭ (eigenlijk een verminderde sext). Dit interval staat bekend om zijn 'jankend', 'huilend' geluid en wordt daarom wolfskwint (orgelwolf) genoemd. Deze wolfskwint is derhalve 3/2 × 531441/524288 = 1594323/1048576 ≈ 1,5305 (reine kwint 2/3 = 1,5)

We kunnen het laatst geval mooi illustreren door middel van de zogenaamde kwintencirkel. Indien enharmonische tonen precies aan elkaar gelijk zijn, dan is de cirkel precies gesloten. Dit is dus niet het geval bij de pythagoreïsche stemming, waarbij een overlap van een pythagoreïsche komma plaatsvindt.

Schematische voorstelling van de kwintencirkel. Links, de gesloten vorm voor het geval dat enharmonische tonen aan elkaar gelijk zijn en rechts de overlappende kwintencirkel, die kan worden afgeleid vanuit de pythagoreïsche stemming.

4.3. Toonschreden. De eenheid cents

Het gereken met breuken, maakt de zaken niet altijd even simpel, niet louter om de complexiteit van het rekenwerk, doch ook om auditieve redenen. Ten eerste zijn de breuken onderling lastig te vergelijken en ten tweede, zeggen zij niets over de wijze waarop toonintervallen door de menselijke waarneming worden waargenomen. Deze subjectieve waarneming of auditieve perceptie ervaart men feitelijk als concrete toonafstanden of toonschreden en niet als louter rekenkundige verhoudingen van gemeten frequenties.
Tegenwoordig hanteert men de eenheid cents. Deze is door Alexander J. Ellis geïntroduceerd en door hem toegepast in zijn vertaling van Helmholz 'Die Lehre von den Tonempfindungen' (1895). Het komt er op neer, dat op de frequentieverhoudingen van de tonen, een wiskundige (logaritmische) operatie wordt uitgevoerd, zodat de grondtoon het cijfer 0 (nul) krijgt en het octaaf boven de grondtoon het getal 1200. De overige, tussenliggende tonen worden dan over het gebied tussen 0 en 1200 verdeeld.
Laat u zich door de wiskunde niet afschriften, u kunt meteen naar de praktische toepassing met de elektronische rekenmachine toegaan. U kunt ook doorlezen.

De formule die wordt toegepast luidt als volgt:

n = 12002log(a/b), waarin a/b de betreffende frequentie-verhouding is, waarbij a > b (als a < b, wordt het antwoord wel even groot, maar negatief). Een andere schrijfwijze volgt uit de definitie van de logaritme: a/b = 2n/1200.

Als a/b = 1 (frequentieverhouding van de grondtoon 1/1), dan is 2log(a/b)=0 dan is n = 1200 × 0 = 0
Als a/b = 2 (frequentieverhouding van het octaaf 2/1), dan is 2log(a/b)= log 21= 1 dan is n = 1200 × 1= 1200

In de praktijk is het handiger om te werken met een logaritme van het z.g.n. grondtal 10, zodat de berekening gemakkelijk met een electronische rekenmachine kan worden uitgevoerd, dus:

n = 12002log(a/b) wordt dan n ≈3.986,313710log(a/b).

Voor meer achtergronden, zie (noot 2)(noot 3)

Een voorbeeld voor de rekenmachine: een natuurzuivere reine kwint heeft verhouding 3/2. Dus a/b = 3/2. Toets het volgende achter elkaar op uw rekenmachine in:

3 [÷] 2 [=] [log] [×] 3986.3137 [=]

Het antwoord wordt dan: 701,955 met toevoeging van de eenheid cents, hetgeen men gewoonlijk afrondt naar een geheel getal. Een natuurzuivere reine kwint meet dus 702 cents.

Als voor de majeur-toonladder de intervallen in cents worden uitgedrukt, kan men de toonschredeverschuivingen van het natuurlijke en pythagoreïsche systeem, nu op een gemakkelijke en directe wijze met elkaar vergelijken:

Systeem C
reine prime
D
grote secunde
E
grote terts
F
reine kwart
G
reine kwint
A
grote sext
B
groot septiem
c
rein octaaf
Natuurlijk systeem 0 204 386 498 702 884 1088 1200
cents
pythagoreïsch systeem 0 204 408 498 702 906 1110 1200
cents

Het tweede voordeel van deze rekenwijze is, naast de gemakkelijke onderlinge vergelijking van onderlinge intervallen van de verschillende toonsystemen, is het feit dat de intervallen letterlijk bijelkaar mogen worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken. Een eigenschap die voortvloeit uit de eigenschappen van de logaritmen (noot 3). De grote secunden, dus de grote en kleine hele toon bij het natuurtonensysteem, de diatonische natuurlijke halve toon, de hele pythagoreïsche toon en limma, kunnen door een simpel aftreksommetje worden berekend:

Systeem: C D E F G A B c
Natuurlijk systeem 0 204 182 112 204 182 204 112 cents
pythagoreïsch systeem 0 204 204 90 204 204 204 90 cents

Hier volgt een overzicht van overige hierboven besproken intervallen in cents:

Het natuurtonensysteem:

Reine prime Kleine secunde of diat. halve toon Grote secunde
gr. hele toon
kl. hele toon
Kleine terts Grote terts Reine kwart Overmatige kwart Verminderde kwint Reine kwint Kleine sext Grote sext Klein septiem Groot septiem Rein octaaf
0 112 204 316 386 498 569 631 702 814 884 996 1088 1200
182 590 610 1017

Het pythagoreïsche systeem:

Reine prime Kleine secunde,
= diat. halve tooon
= limma
Grote secunde of hele toon Kleine terts Grote terts Reine kwart Overmatige kwart Verminderde kwint Reine kwint Kleine sext Grote sext Klein septiem Groot septiem Rein octaaf
0 90 204 294 408 498 612 588 702 792 906 996 1110 1200

Halve tonen in cents:

Natuurlijke diatonische halve toon112
Limma of pythagoreïsche diatonische halve toon90
Natuurlijke chromatische halve toon of kleine halve toon71
Natuurlijke chromatische halve toon of klein limma92
Pythagoreïsche chromatische halve toon of apotome114

Verschil- en somtonen:

Schismapythagoreïsche komma minus syntonische komma2
Didymische of syntonische kommagrote hele toon minus kleine hele toon22
Diaschismaverschiltoon natuurlijke enharmonische tonen20
Kleine diesisverschiltoon natuurlijke enharmonische tonen41
Pythagoreïsche kommaverschiltoon pythagoreïsche enharmonische tonen23
Grote diesislimma minus kleine diesis49
Groot limmakleine diesis plus klein limma133

4.4  Tempereringen

Het was reeds lang bekend dat de reine stemming ongeschikt is voor de toepassing voor toetsinstrumenten. De pythagoreïsche stemming is wel bruikbaar, doch heeft het nadeel, dat de tertsen minder mooi klinken dan de natuurlijke tertsen. Even op een rij:
de natuurzuivere grote terts heeft de frequentie verhouding 5/4 (= 1,2500)(386 cents), de pythagoreïsche grote terts is 81/64 (≅ 1,2656)(408 cents), en is daarmee de syntonische komma 81/80 (22 cents) ruimer. de natuurzuivere kleine terts heeft de verhouding 6/5 (= 1,2000)(316 cents) de pythagoreïsche kleine terts is 32/27 (≅ 1,1852)(294 cents), en is dus de syntonische komma krapper.

De tekortkomingen van de reine en pythagoreïsche stemmming heeft men proberen te ondervangen door middel van minimale veranderingen van bepaalde tonen, en wel zodanig dat deze zich op de grens van het acceptabele bevonden en niet als storend werden ervaren. Het toepassen van dit soort kleine toonvariaties, noemt men tempereren (sommige auteurs gebruiken in dit verband 'intonatie', dat feitelijk een iets andere betekenis heeft). De eerste ontdekking van het benoemen van een wijze van temperering, is gedaan door Riemann in een passage in de Practica musica (1496) van Franchinus Gaffurius (1451-1522).
De Duitse organist en musicoloog Arnold Schlick (ca. 1450 - ca. 1525) maakte in zijn 'Spiegel der Orgelmacher und Organisten' (1511) reeds melding van tien verlaagde en twee verhoogde kwinten, alsmede twaalf verhoogde tertsen (Barbour, 1951). Gedurende de 16e eeuw heeft men bijzonder veel rekenwerk verricht met betrekking tot de vele mogelijkheden van temperering.

Alhoewel Pietro Aaron (ca. 1480 - ca. 1550) in zijn Toscanello in musica (1523) in deze richting steminstructies gaf, werd de zogenaamde middentoonstemming voor het eerst systematisch uitgewerkt door Gioseffo Zarlino (1517-1590). Aanvankelijk in zijn Istitutioni harmoniche (1558), Dimostrationi armonische (1571) en later in de heruitgaven van Istitutioni harmoniche (1573), alwaar hij de 2/7-komma, en de ¼-middentoonstemming beschreef (Rasch, 2002). Eveneens maakte hij in laatste Istitutioni harmoniche (1573), melding van de variant, die 1/3-komma middentoonstemming wordt genoemd. Deze is toegeschreven aan Francisco Salinas (1513 - 1590) (Barbour, 1951). De ¼-komma middentoonstemming is zeker tot in de 18e eeuw het meest beschreven en was gedurende deze periode de meest gebruikte stemming bij toetsinstrumenten.

4.5 De ¼-komma middentoontstemming

(Engels: ¼-comma meantone temperament)
Het belangrijkste doel van de ¼-komma middentoonstemming of gewoonweg middentoonstemming, is het verkrijgen van natuurzuivere grote tertsen vanuit het pythagoreïsche systeem. Dit wordt bereikt door de syntonische komma (81/80) over vier kwinten te verdelen, waarbij iedere kwint ¼ van de syntonische komma wordt verkleind. Het verband tussen vier kwinten, de natuurzuivere grote terts en de syntonische komma is door middel van de volgende formule te illustreren:

[vier gestapelde kwinten - (minus) twee octaven] = pythagoreïsche grote terts:

(3/2)4 ÷ (2/1)2 = (3/2)4 × (1/2)2 = 81/16 × 1/4 = 81/64

[vier gestapelde kwinten - (minus) twee octaven)] - (minus) syntonische komma] = reine grote terts:

81/64 × 80/81 = 80/64 = 5/4

Als we binnen de toonschaal dus een natuurzuivere grote terts willen hebben, dan moet de syntonische komma over vier kwinten worden uitgesmeerd, door elk een ¼ syntonische komma te verkleinen:

[3/2 × (80/81)1/4]4 ÷ (2/1)2 = [3/2 × 4√(80/81)]4 × (1/2)2 = [81/16 × 80/81] × 1/4 = 80/64 = 5/4

Als we even de majeurtoonladder van C ter hand nemen:

C-D-E-F-G-A-B-c

De ¼-komma middentoonstemming gaat nu als volgt:

(Voor de overzichtelijkheid is het 'maal'-teken '×' vervangen door een punt)

Berekening van de rest van de diatonische reeks (C-majeur) levert:

C D E F G A B c
Frequentie-
verhouding t.o.v. C = 1
1 ½.√5 5/4 2.4√(1/5) 4√5 ½.4√53 ¼.4√55 2
In cents 0 193 386 503 697 890 1083 1200

Bij het stemmen in de ¼-komma middentoonstemming, heeft de verkleining van de kwint het nadeel van het optreden van de wolfskwint G♯  -E♭, hetgeen als volgt is in te zien.

Het interval E♭-d♯6 bedraagt 12 gestapelde verkleinde middentoon-kwinten, deze bedraagt (4√5)12.
E♭-e♭5 is een interval van 7 gestapelde octaven, en bedraagt (2/1)7

Het intervalverschil is dan (4√5)12 ÷ (2/1)7 = (5¼)12 × (1/2)7 = (53)/(27) = 125/128 (-41 cents). De wolfskwint G♯ - E♭ is dus 41 cents groter dan de getempereerde kwint.

Als we dit in de kwintencirkel illustreren, dan krijgen we de onderstaande figuur.

Schematische voorstelling van de kwintencirkel, die vanuit de ¼-komma middentoonstemming is afgeleid.

4.6 De ¹/3-komma middentoontstemming

De ¹/3-komma middentoontstemming is een afgeleide middentoonstemming, die is toegeschreven aan Salinas en eveneens door Zarlino mede is uitgewerkt. Het principe van deze stemming is, dat de kleine terts zodanig wordt opgedeeld, dat de natuurzuivere kwinten een ¹/3-syntonische komma kleiner worden. Salinas deelde de syntonische komma op in drie gelijke delen van 3√(81/80). Dit komt overeen met een interval van 7,17 cents. Door de grote hele toon van het natuurlijke systeem met twee fracties van de syntonische komma, 2 × 7, 17 = 14,34 cents, te verkleinen en de kleine hele toon met één deel, 7,17 cents, te vergroten, verkrijgt men, in vergelijking met het natuurlijke systeem:

C D E F G A B c
Frequentie-
verhouding t.o.v. C = 1
1 9/8.(80/81)2/3 5/4.(80/81)1/3 4/3.(81/80)1/3 3/2.(80/81)1/3 5/3 15/8.(80/81)2/3 2
1/3-komma middentoonstemming
(cents)
0 190 379 505 695 884 1074 1200
Natuurlijke systeem
(cents)
0 204 386 498 702 884 1088 1200

De ¹/3-komma middentoontstemming levert dezelfde hele tonen op (≈ 189,5725 cents), vandaar de naam middentoonstemming, verder natuurzuivere kleine tertsen (6/5 of 316 cents), natuurzuivere tritonus of overmatige kwart (25/18 of 569 cents) en natuurzuivere grote sexten (5/3 of 884 cents). De kwint is echter ¹/3-komma kleiner geworden, zodat in vergelijking met de gewone middentoonstemming een nog ruimere wolfskwint optreedt.
Het verschil van 12 getempereerde kwinten en zeven octaven, levert: {3/2 × 3√(81/80)}12 × (1/2)7 = 10000/81 × 1/128 = 625/648, ca. -63 cents. Met andere woorden de wolfskwint is dus 63 cents groter dan de getempereerde kwint (695 cents).

Schematische voorstelling van de kwintencirkel, die vanuit de 1/3-komma middentoonstemming is afgeleid.

Alhoewel deze stemming, ondanks de natuurzuivere intervallen minder plezierig klinkt, ten minste als we uitgaan van een octaaf dat uit 12 tonen is opgebouwd, bleek het op een andere manier beter toepasbaar te zijn. Salinas stelde voor om het octaaf uit 19 tonen samen te stellen, hetgeen gemakkelijk met behulp van het monochord, uitvoerbaar is. Zeven tonen konden worden gevonden, door aanvankelijk boven en onder grondtoon reine kleine tertsen te plaatsen:

Om de tonen D en E te verkrijgen, werden drie gemiddelden tussen de tritonus C-F♯ aangewend. De rest van de tonen kunnen worden verkregen door kleine tertsen boven en onder D en E te plaatsen.

C C♯ D♭ D D♯ E♭ E E♯ F F♯ G♭ G G♯ A♭ A A♯ B♭ B B♯ c
Cents(*): 0 64 126 190 253 316 379 442 505 569 632 695 758 821 884 948 1011 1074 1137 1200
(*)Door afronden van de getallen in cents ontstaan enkele lichte afwijkingen in het resultaat. De intervallen verschillen onderling hetzelfde bedrag, namelijk: ≈ 63,5037 cents

De voordelen van dit 19-toonssysteem zijn, dat er geen wolfskwint aangeslagen hoeft te worden (de stemming is circulair, vanwege een doorlopende kwintenspiraal), dat het systeem is gesloten, hetgeen wil zeggen dat de muziek in alle toonsoorten transponeerbaar (om te zetten van de ene gelijksoortige toonsoort naar de ander) is. Omdat alle tonen bovendien onderling een gelijke afstand van elkaar verschillen, n.l. ≈ 63,5037 cents, is hier sprake van een vorm van een evenredige stemming (Engels: 'equal temperament'), hoewel Salinas en Zarlino zich niet van het laatste bewust waren.

Een schematische voorstelling van de doorlopende kwintencirkel (eigenlijk: kwintenspiraal) voor het 19-toonssysteem, dat vanuit het ¹/3-komma middentoontstemming is berekend.

Zarlino publiceerde in zijn Institutioni harmoniche een afbeelding van een klavecimbel, waarin hij voorstelde hoe een 19-toons klavier geconstrueerd kan worden. Dit model was reeds in 1548 door Domenico Pesarese gebouwd.

Zarlino's ontwerp voor een 19-tonen-klavier. De rode kleur is door de auteur toegevoegd.
Uit: Zarlino's Institutioni harmoniche

4.7 Selectiestemmingen

Johann Sebastian Bach (1685-1750).
Geschilderd portret door Elias Gottlob Haussmann (1748).
De selectiestemmingen zijn ontworpen om binnen het 12-toonsoctaaf, tekortkomingen van de middentoon-stemmingen te vermijden. Daarbij wordt het principe gehanteerd om zoveel mogelijk tonen, zo rein mogelijk te stemmen en waar nodig compromistonen in te voeren. Een aantal hiervan zijn bij naam te noemen: Schlick (1511), Silbermann, Mattheson, Valotti (†1780), Werckmeister I, II, III en IV (1681, 1991), Kirnberger I, II en III (1779), Neidhardt I, II en III. Recent zijn: Kelletat (1966), Kellner (1977) en Billeter (1979).
Selectiestemmingen die voor alle toonaarden toepasbaar zijn, met behoud van een goed klinkende harmonie en transponeerbaarheid van de toonsoorten, worden in het Duits 'Wohltemperiert' genoemd. Volgens Kelletat waren de tempereringen van Kirnberger toonaangevend tijdens het leven van Johann Sebastian Bach, zodat het aannemelijk is deze in verband met Bach's Das Wohltemperierte Klavier in verband gebracht kan worden. Amy T. Brosius (Brosius, 2001) in the New Grove Dictionary (2001) meldt dat Bach's voorkeur mogelijk niet uitging van de tempereringen van Bach's voormalige leerling Kirnberger. Zij geeft een overzicht van vijf mogelijke tempereringen, die door Bach als 'wohl' konden worden beschouwd: evenredig zwevende stemming, het systeem van Valotti, van Werckmeister (1681), Neidhart (1724) en een benadering van een zekere 18e eeuwse 'tempérament ordinaire', zonder wolfskwint.

Overigens bestaat er reeds lang een zeer volhardend misverstand, namelijk dat 'Wohltemperiert' precies hetzelfde is als de hierna te behandelen van de evenredig zwevende temperatuur (naar: Kelletat, H.; Zur musikalischen Temperatur, H. Kelletat (Broekaert, 2002).
Er bestaat geen goede Nederlandse vertaling voor het Duitse woord 'Wohltemperiert'. In het Engels maakt men gebruik van 'well tempered' en 'good temperament'. In het Nederlands zou men 'goed-getempereerd' of 'wel-getempereerd', respectievelijk 'wel-getempereerde stemming' kunnen aanwenden.

Overzicht van enkele selectiestemmingen in cents uitgedrukt (Broekaert, 2002)(Taylor, 2002)(Barbour, 1951).
De oranje vakjes hebben betrekking op de natuurlijke intervallen.
C C♯ D E♭ E F F♯ G G♯ A B♭ B c
Schlick (1511) 0 90 196 302 392 502 590 698 796 894 1002 1090 1200
Mersenne I (1637) 0 76 193 299 386 503 579 697 773 890 1001 1083 1200
Mersenne II 0 76 193 288 386 503 579 697 773 890 996 1083 1200
Werckmeister III (1681) 0 90 192 294 390 498 588 696 792 888 996 1092 1200
Rameau (1726) 0 87 193 298 386 503 585 697 789 890 1007 1083 1200
Silbermann (ca. 1748) 0 89 197 306 394 502 590 698 787 895 1003 1092 1200

Overzicht van enkele wel-getempereerde stemmingen in cents uitgedrukt (Broekaert, 2002)(Taylor, 2002)(Barbour, 1951)(Brosius, 2001) .
C C♯ D E♭ E F F♯ G G♯ A B♭ B c
Kirnberger II (1779) 0 90 204 294 386 498 590 702 792 895 996 1088 1200
Kirnberger III 0 90 193 294 386 498 590 696 792 889 996 1088 1200
'Bach', naar Brosius (2001)/Vallotti 0 94 196 298 392 502 592 698 796 894 1000 1090 1200
'Bach', naar Brosius (2001)/Werckmeister III (1681) 0 90 192 294 390 498 588 696 792 888 996 1092 1200
'Bach', naar Brosius (2001)/Neidhart I 0 94 196 296 392 498 592 698 796 894 996 1092 1200
'Bach', naar Brosius (2001)/'tempérament ordinaire' 0 89 194 293 388 503 587 697 791 891 998 1085 1200

4.8 Evenredig zwevende stemming

De naam evenredig zwevende stemming of evenredig zwevende temperatuur (ET). De oude, vaak gebruikte term 'gelijkzwevende temperatuur' is feitelijk onjuist, omdat het aantal zwevingen van een zeker interval in hogere octaven juist toeneemt (Willemze, 1991). De Engelse term 'equal temperament' is feitelijk een betere uitdrukking. Het belangrijkste kenmerk voor de ET is, dat het octaaf in exact gelijke intervallen of frequentieverhoudingen is verdeeld. De ET, die tegenwoordig algemeen wordt toegepast bij toetsinstrumenten (piano, orgel, keyboard, etc.), gefrette snaarinstrumenten (gitaar, mandoline, bouzouki, etc.), geboorde blaasinstrumenten, etc. is de verdeling van het octaaf in twaalf gelijke intervallen. Dit betekent, dat de het octaaf slechts twaalf verschillende tonen kent, waarbij alle enharmonische tonen precies aan elkaar gelijk zijn. Dus een C♯ is exact gelijk aan een D♭, etc. (Barbour, 1951).

De eerste aanwijzing voor instrumentstemming, die met de ET kan worden geïdentificeerd is afkomstig van Giovanni Maria Lanfranco (1533). Deze stemming was aanvankelijk bedoeld voor het stemmen van de klavichord en orgels, doch later uitgebreid voor gefrette snaarinstrumenten. Het principe was eenvoudig: stem de kwinten zodanig te laag, zodat ze voor het gehoor op grens van welluidendheid bevinden, en stem de grote tertsen zodanig hoger, dat ze net aan worden verdragen. Bovendien gaf Lanfranco aan, dat het in sommige gevallen mogelijk is, dat de zwarte toetsen voor de F♯ en C♯ eveneens voor resp. de G♭ en D♭ aangewend mogen worden. Lafranco's systeem werd door sommige tijdgenoten overgenomen, hetgeen niet bepaald in overeenstemming was met het pythagoreïsche systeem, die bij Lafranco's tijd algemeen in zwang was. (Barbour, 1951)

De eerste Europeaan die er in was geslaagd om het monochord, volgens het '12-e machtswortel uit twee'-principe (zie volgende alinea), bij benadering te verdelen (noot 4), was de Nederlandse natuurkundige Simon Stevin ('Spiegeling der Singconst', ca. 1596). Gelijktijdig met Stevin, werkte in China, Prins Tsai-yü hetzelfde principe meer nauwgezet uit. (Barbour, 1951)

De evenredig zwevende stemming, waarbij de verdeling van een octaaf (2:1) in twaalf gelijke intervallen is gedeeld, werkt als volgt:
per definitie geldt voor de octaaf de frequentieverhouding 2/1 = [(12√2)12]/1.
Elke chromatische of diatonische halve toon heeft dan de verhouding 12√2 : 1 ten opzichte van een zekere ondertoon.
Zo is de frequentie van een willekeurige toon (f), boven die van een bekende ondertoon (F) als volgt te berekenen: f = F.12√2n of f = F.2n/12, waarin 'n' het aantal halve tonen boven de ondertoon voorstelt.
Als we dit in cents uitdrukken, krijgen we voor het octaaf, zoals gewoonlijk 1200 cents, en voor iedere chromatische of diatonische halve toon 100 cents.
Het nadeel van deze evenredige stemming is, dat er behalve het octaaf, geen natuurzuivere intervallen meer aanwezig zijn. De 'reine kwint' in de ET bedraagt dus per definitie 700 cents, hetgeen een fractie (2 cents) kleiner is dan de natuurzuivere reine kwint van 702 cents. De tegenwoordige 'reine' kwinten en kwarten zijn dus eigenlijk niet rein.

Hieronder volgt een schematisch overzicht van een aantal systemen in vergelijking met de evenredig zwevende stemming:

Klik hier voor een vergroting.

Zie ook appendix A: Toonfrequentietabel voor de evenredige zwevende stemming.

4.9 Stemming van de luit

Er is hiervoor, gesproken over de stemming van toetsinstrumenten. Een andere klasse van instrumenten uit het verleden, die chromatisch gestemd moesten worden zijn de gefrette snaarinstrumenten, zoals de luit. In tegenstelling met de toetsinstrumenten, waarbij elke toon apart gestemd moest worden, geldt voor de gefrette snaarinstrumenten, dat naast de stemming van de afzonderlijke snaren, eveneens de onderlinge afstanden van de fretten bepalend zijn voor de toonvorming.

Vicenzo Galileï gelukte het, om een empirisch gevonden manier toe te passen om een luit van fretten te voorzien (Dialogo della musica antica e moderna, 1581), waarbij de enharmonische tonen aan elkaar gelijk waren gesteld. Bij deze benadering, deelde hij de halve tonen op volgens de snaarlengteverhouding 17:18, waarbij volgens zijn zeggen, de twaalfde fret precies in het midden van de snaar uitkwam. Dit was niet helemaal correct. Twaalf keer een interval van 18/17 levert (18/17)12 = ca. 1,98556, dat slechts een fractie kleiner is dan 2! Hetgeen neer komt op een verschil van 12,5 cents, zodat de laatste halve toon B-c ruimer is, dus 111,5 in plaats van 99 cents.
Deze proefondervindelijke afstand van de snaarlengte verhouding voor de halve toon van 17/18, blijkt bij benadering ongeveer gelijk te zijn aan 12√2. Zodat op deze wijze de huidige evenredig zwevende stemming werd benaderd. Hieronder een overzicht van Galileï's snaarstemming, uitgedrukt in relatieve snaarlengten en in cents. (Barbour, 1951)

Toonnaam: C x D x E F x G x A x B c
Snaarlengte: 100000 94444 89197 84242 79562 75142 70967 67024 63301 59784 56463 53326 50000
Cents: 0 99 198 297 396 495 594 693 792 891 990 1089 1200

Luit uit Mersenne's Harmonie universelle (1637)

Later zijn door o.a. Mersenne (Harmonie universelle, 1637) enkele correcties uitgevoerd om de afwijkingen te compenseren. Een betere benadering voor een halve toon, is derhalve de verhouding 51192:48319. (Barbour, 1951)

De Engelse luitenist John Dowland (ca. 1563 - 1626), had echter, overeenkomstig de visie van zijn tijdgenoten, een voorkeur voor het aanwenden van het pythagoreïsche systeem . Om de halve tonen geschikt te maken voor toepassing op de luit, voerde Dowland kleine correcties uit (Robert Dowland, Variety of Lute Lessons, 1610: 'Other Necessary Observations to Lute -playing by John Dowland').

De tabel hieronder geeft een vergelijking van vier stemmingen, de pythagoreïsche, Dowland's luitstemming, Galileï's luit stemming en de ET.

Overzicht van enkele luitstemmingen cents in vergelijking met de ET en het pythagoreïsch systeem (Barbour, 1951).
C C♯ D E♭ E F F♯ G G♯ A B♭ B c
Pythagoreïsch systeem 0 114 204 294 408 498 612 702 816 906 996 1110 1200
Dowland's luitstemming 0 108 204 284 388 498 597 702 810 906 986 1090 1200
C x D x E F x G x A x B c
Galileï's ('ET') luitstemming 0 99 198 297 396 495 594 693 792 891 990 1089 1200
ET 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

5. Stemming en temperering van de insulaire harp

5.1 Stemming van de Ierse harp naar Bunting

In het laatste werk van Edward Bunting (1773-1843), Ancient Music of Ireland is een overzicht opgenomen van de stemming en stemmingswijze voor de 'Gaelische' (metaalsnarige) harp. De diatonische stemming van het instrument is feitelijk in G-majeur (met één kruis als voorteken) en is aangeduid met de Gaelische term Leath Gleas (of Engels: half note. Opvallend hier is het ontbreken van de F en de dubbele g, de zogenaamde Caomhluighe (= 'naastliggend' of in het Engels 'sisters' genoemd). Het onderstaande diagram toont naast de snaarstemming, ook de aanpak van de stemwijze.
Deze blijkt te zijn geënt op basis van octaaf en kwintvergelijking. Dit zou dus duiden op het aanwenden van het pythagoreïsche toonsyteem (Bunting, 1840).

Buntings stemming van harp in zijn Ancient Music of Ireland (1840)

5.2 Stemming van de Welshe harp voor cerdd dant

Cerdd dant is de bardische snaarmuziek van Wales, die sinds de middeleeuwen tot en met de 16e eeuw in Wales floreerde. Het is vanuit verschillende achtergronden aantoonbaar, dat deze mede wortels heeft in de middeleeuwse Hiberno-Noorse bardische traditie van Ierland, zodat deze vorm vanuit zowel een Germaanse, als een Keltische cultuur is ontwikkeld.
Zie ook hoofdstuk Cultuur- en muziekhistorische onderwerpen: Bardische kunst: cerdd dant

De harpstemming voor de cerdd dant ligt ingewikkeld. Ten eerste is er slechts één bruikbare bron om de muziek zelf, nader te kunnen analyseren. Dit is het 17e-eeuwse Robert ap Huw-manuscript (RaH-MS). Verder is er voor onderzoek een beperkt aantal oude manuscripten beschikbaar, dat slechts fragmentarische kennis biedt. Er zijn veel experts, die zich over de interpretatie van het RaH-MS hebben gebogen. Voor wat betreft de harpstemming, zijn in de afgelopen paar honderd jaar diverse interpretaties ontwikkeld, die een complexiteit aan harpstemmingen opleverden, die vaak niet of slecht op de muziek zelf toepasbaar was. Uiteindelijk is het de Welshe musicus en musicoloog Peter Greenhill gelukt om een relatief eenvoudige, doch binnen één harpstemming, een plausibele theorie op te stellen, waarbij hij diverse tempereringen voorstelt, die een wezenlijk onderdeel van de cerdd-dant-traditie vormden. Greenhill is tot zijn theorie gekomen, vanuit bewijzen dat de middeleeuwse harmonie (lees akkoorden!), die in de cerdd dant werd aangewend, de meest zuivere samenklank dienden te geven. Dit betekent, natuurzuivere harmonische tertsen en waar nodig natuurzuivere kwinten. Dit gegeven wijkt dus af van het, toen algemeen geaccepteerde pythagoreïsche systeem, dat wel reine kwinten, doch geen welluidende tertsen met zich meebracht.
Het gaat te ver om op deze pagina deze theorie in detail te bespreken, zodat ik u beter kan verwijzen naar een ander hoofdstuk van deze website, n.l Vormen en Technieken: Cerdd dant. Deel 2. Het Robert-ap-Huw-manuscript: de stemming, temperering en speeltechniek: Stemming en intonatie.

Het volgende overzicht toont een overzicht van de lettersymbolen van RaH-MS, die zoals men voorheen veronderstelde, geen snaarnamen voorstellen, maar de werkelijke tonen, die op de harp werden geproduceerd. Er blijkt dat in dit diatonische systeem, echter één restrictie noodzakelijk is, namelijk dat het symbool voor b, een b-rotundum voorstelt, waarmee de b-molle of de toon bes b♭ wordt bedoeld.

Het laatste blijkt gemakkelijk in te zien als men er vanuit gaat, dat de smaak van samenklank ten tijde van cerdd dant grotendeels overeenkomt met de heersende muzikale opvattingen met betrekking tot consonantie en dissonantie in de kunstmuziek van het Europese vasteland. Men hanteerde, vanuit de Guidoneaanse hexachordiek één soort chromatische verbuiging, n.l. de verlaging van b naar bes. Feitelijk was de toon bes niet louter een afgeleide van de toon b, maar een volkomen gelijkwaardige toon.

Hoewel de muziek veel ouder is, is het meeste beschikbare materiaal van de cerdd dant, zoals het RaH-MS, pas in de 16e en 17e eeuw genoteerd. In deze geschriften is melding gemaakt van een aantal zogenaamde cyweiriau (dit is de meervoudsvorm van cywair) genoemd, die men sinds enkele honderden jaren heeft geïnterpreteerd als diverse omstemmingen van de harpsnaren (scordatura).
Van deze cyweiriau werden er vijf, volgens de regels voorgeschreven en kregen de volgende namen:

Is gywair Is: onder, laagste
Cras gywairCras: wrang, hard, droog, krassend
Lleddf gywairLleddf: zacht, kalm, teder en vredig
Go gywairGo: wat, ongeveer
Bragod gywairBragod, is een metafoor voor bitter-zoete harmonie. Het woord heeft betrekking op het Engelse braggat, een drankje dat door de ouden werd gemaakt uit een gefermenteerd mengsel van de wort van bier en honing met een bitterzoete smaak.

Een cywair die buiten de bovenstaande voorgeschreven cyweiriau valt is Uwch Gywair (Uwch: 'onderste').

De basis van de harpstemming, zoals dit in het RaH-MS wordt gehanteerd, is volgens Greenhill de volgende ongetempereerde, diatonische pythagoreïsche stemming:

C D E F G A c
1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 16/9 2/1
0 cents 204 408 498 702 906 996 1200

Zoals eerder gezegd, is een belangrijke tekortkoming van het pythagoreïsche systeem, de onwelluidende grote en kleine tertsen, die feitelijk ongeschikt zijn voor een toepassing in het akkoordenspel. Greenhill heeft eveneens aangetoond, dat dit euvel door middel van temperering kan worden verholpen. Het blijkt namelijk dat de reeds genoemde cyweiriau, niet de betekenis hadden dat zij werden aangewend om de harp van een andere stemming te voorzien, doch dat hier feitelijk om tempereringsmodellen gaat, die binnen de reeds hiervoor genoemde, standaardstemming, konden worden aangewend. Welke temperering werd toegepast was afhankelijk van de harmonisch context van de betreffende compositie.

Op deze pagina werd in dit verband reeds de middentoonstemmingen besproken:

Naam van de middentoonstemming Diatonische RaH-toonreeks in cents
CDEFGAC
¼-middentoonstemming019338650369789010071200
1/3-middentoonstemming019037950569588410101200
ongetempereerd (pythagoreïsch)0 204 408 498 702 906 996 1200

De volgende, zogenaamde onregelmatige tempereringen op het pythagoreïsch systeem, hebben in het onderzoek van Greenhill een rol gespeeld: (met + is aangegeven, dat de toon met een syntonische komma (SK) is verhoogd en met een -, met een SK is verlaagd.)

Greenhill-nummer Temperering in cents Temperering symbolisch Uitgesloten kwinten
1 01823864987028849961200 D-E- A- G-D
2 020438652070288410181200 E-F+ A-+ D-A; F-C
3 020438652070290610181200 E-F+ + F-C; A-E
4 018238649870288410181200 D-E- A-+ G-D; -F
5 020438649870288410181200 E- A-+ D-A; -F
6 01823864986818849961200 D-E- G-A- C-G
Vergelijk hiermee de ongetempereerde pythagoreïsche toonladder:
02044084987029069961200

Vijf van de zo verkregen toonschalen worden door Greenhill als volgt verder geïdentificeerd:


(Greenhill, 2000)

Zonder verder op de afleiding in te gaan (zie daarvoor Vormen en Technieken: Cerdd dant. Deel 2. Het Robert-ap-Huw-manuscript: de stemming, temperering en speeltechniek: Stemming en intonatie, komt Greenhill tot de conclusie, dat:

(Greenhill, 2000)

Scordatura

Alhoewel de cyweiriau als tempereringen zijn aangeduid, werd de term cywair eveneens in de betekenis van stemming aangewend. De stemming van crwth, werd b.v. aangeduid met 'gywair naturiol', hetgeen impliceert dat er meerdere stemmingen voor het instrument mogelijk waren. (Zie Toonsystematiek: Oude 'Keltische' toonsystemen en notaties: De stemming van de crwth).

Het RaH-MS zelf, geeft eveneens een aanwijzing voor het bestaan van een alternatieve harpstemming, hetgeen onder het kopje lleddf gower gwyddel [Lleddf: zacht, kalm, teder en vredig. Gwyddel: Ier ('Irishman')] op pag. 109 wordt geïllustreerd. Hierin blijkt een duidelijk aanwijzing, dat de toon ♭|, naar b| kan worden verhoogd. Ap Huw geeft dit aan, door expliciet onder de b een kruisteken te plaatsen. De uitdrukking lleddf gower gwyddel, is overigens niet dezelfde als die van één van de vijf 'hoofd'-cyweiriau: lleddf gywair. Het woord 'gwyddel' ('Irishman') verwijst naar Ierland, waarmee het aannemelijk is, dat er een Ierse of Hiberno-Noorse speeltraditie bestond, die blijkbaar afweek van die van Wales.

Robert ap Huw: lleddf gower gwyddel, p. 109. De kruizen (b-quadratum) hebben volgens Greenhill, niets te maken met een van de voorgeschreven cywairiau. Doch, zou eerder op een aanpassing binnen een andere speeltraditie wijzen. Het woord gwydell, refereert naar Ierland, alwaar de Hiberno-Noorse praktijk mogelijk een andere traditie volgde dan die in Wales.(Greenhill, 2000)

6. De stemming en temperering van de Great Highland Bagpipe (GHB)

Lees ook: Vormen en technieken: Piobaireachd

6.1 De stemming van de GHB

De negen tonen, die door middel van de chanter van de GHB of pìob mhór tot klinken worden gebracht, worden in de pipe- en piobaireachd-terminologie aangeduid met:

'Low G - Low A - B - C - D - E - F - High G - High A'


Als deze schaal op de conventionele wijze wordt uitgeschreven, verkrijgt deze een voortekening van twee kruizen, hetgeen neerkomt op de zogenaamde mixolydische toonladder van A, met een toegevoegde lage G:

g1 - a1 - b1 - c#2 - d2 - e2 - f#2 - g2 - a2


De huidige GHB is voorzien van drie dronepijpen, de 'Bass drone' en twee 'Tenor drones', die bovenop hun grondtonen resp. A en a, sterke harmonische boventonen produceren, die als een fundamentele tonen van de drones worden ervaren. Een en ander wordt geresumeerd in de onderstaande afbeeldingen.

Nu de notatie en terminologie voor de GHB, bekend zijn is het nodig om de stemming van het instrument zelf eens onder de loep te nemen. De toonschaal van GHB wijkt in twee belangrijke opzichten af van de gangbare moderne 'concert-pitch. Het gevolg hiervan is, dat het derhalve niet mogelijk om met andere 'standaard' muziekinstrumenten met de GHB mee te spelen.
Deze afwijkingen of deviaties zijn het gevolg van:

6.2 Pitchhoogte van de 'A'

Laten we eerst de toonhoogte van de basistoon Low A (a1) GHB in ogenschouw nemen. Voor het eerst is daar, tussen 1954 en 1961 serieus onderzoek naar gedaan door de medicus J.M.A. Lenihan en natuurfilosoof Seumas McNeill. Zij voerden een tal van electronische metingen uit door middel van een dubbelstraal-oscillograaf voor achttien verschillende pipe-spelers, hetgeen een teleurstellende resultaat opleverde met een grote spreiding. Tussen twee uitersten van dezelfde toon, werd zelfs een verschil van 22 cents gevonden. Voor de Low A, werd een gemiddelde frequentie gemeten van 459 Hz, een getal dat overigens in het algemeen werd geaccepteerd. Deze frequentie wijkt sterk af van de standaard a1 van 440 Hz en komt daarbij in de buurt van standaard A# of B van 466 Hz (Collinson, 1966). In de loop der tijd, zelfs van tientallen jaren, is toon van de Low A geleidelijk verder omhoog gebracht. Tegenwoordig bevindt deze zich tussen de 470-480 Hz, hetgeen zelfs hoger is dan de A#!

6.3 Temperering van de GHB

Er zijn diverse onderzoeken uitgevoerd naar de temperering van de GHB. Het eerste onderzoek is van A.J. Ellis, die hij in 1875 publiceerde als aanvulling op zijn vertaling On the Sensations of Tone (Die Lehre von den Tonempfindungen, 1863) van de Duitse medicus/natuurkundige Hermann von Helmholz. (Ellis, 1895)(Blom/Groves, 1961)(Collinson, 1966) Zijn resultaten, waarin hij overigens de 'Low G' negeerde, worden tegenwoordig als incorrect beschouwd:

De metingen van A.J. Ellis, omschreven door Collinson (Collinson, 1966)Intervallen naar A.J. Ellis (Ellis, 1895)De mixolydische schaal volgens de evenredig zwevende temperatuur

High A

G

F

E

D

C

B

Low A

hele toon

¾ van een hele toon (=halve toon + de helft)

¾ van een hele toon (=halve toon + de helft)

hele toon

¾ van een hele toon (=halve toon + de helft)

¾ van een hele toon (=halve toon + de helft)

hele toon

1200 (cents)

1009

853

703

495

341

197

0

1200 (cents)

1000

900

700

500

400

200

0
De temperering van de toonschaal van de GHB naar A. J. Ellis (1885) (Collinson, 1966).

Het onderzoek van Lenihan en McNeill, leverde de onderstaande, tegenwoordig gangbare temperering op:

Naar Lenihan en MacNeillDe mixolydische schaal volgens de evenredig zwevende temperatuurDe mixolydische schaal volgens de reine stemming

High A

G

F

E

D

C

B

Low A

Low G

1200 (cents)

1018

884

702

520

386

204

0

-204

1200 (cents)

1000

900

700

500

400

200

0

(-200)

1200 (cents)

996

884

702

498

386

204

0

-204
De temperering van de toonschaal van de GHB naar Lenihan en MacNeill (1968), in vergelijking met de reine stemming en evenredig zwevende temperatuur(Collinson, 1966).

Belangrijk bij deze intonatie zijn allicht de welluidendheid van de diverse intervallen ten opzichte van de droneklanken. Deze temperering is reeds in de vorige paragraaf besproken, inzake de stemming en intonatie voor de harp voor de cerdd dant van Wales. Met deze temperering werd de intonatie met de aanduiding gogywair geïdentificeerd. De eigenschap hiervan zijn de natuurzuivere grote tertsen en een beperkt aantal goedklinkende reine kwinten.

7. Intonatie bij de uilleann pipes

De Ierse doedelzak staat beter bekend als uilleann pipes. Dit instrument is tegenwoordig gestemd in de buurt van de evenredig zwevende temperatuur (a1 = 440 Hz, 'concert pitch') in de toonladder van D-majeur als:

Er zijn twee tonen die een uitzondering vormen. Dat is de zogenaamde 'piper's-C', dit is een toon, die zich in het laagste octaaf (d1 - d2) bevindt en tussen de c1 en c#1, door middel van de vingerzetting, wordt geïntoneerd (Ó Canainn, 1978/1993).
Verder is er nog de vaste toon, die 'ghost D' wordt genoemd, deze toon ligt in de buurt van de tonen d#1 en d#2 (Clarke, 1998). Eigen meting van de bovenste 'ghost D', levert een frequentie van 609 Hz (auteur BGD). Deze toon bevindt zich tussen de 'evenredig zwevende' d2 (587,3 Hz) en d#2 (622,2 Hz) in.
Vanuit c2 gerekend, bedraagt de 'ghost D' 262,9 cents. Vergelijk hiermee, de 300 cents voor de 'evenredig zwevende' d#2.

8. Intonatie bij sean-nós-zang

De traditionele Ierse sean-nós is een kenmerkende zangvorm uit de Gaeltacht, de gebieden waarin Gaelisch als eerste taal wordt gesproken. Deze vorm, zonder enige instrumentale begeleiding, heeft een hoge mate van improviserende ornamentiek en vrije ritmiek. In plaats van gefixeerde toonhoogten voor de diverse noten, blijkt er grote spreiding in de intonatie te bestaan. In het begin van de 20e eeuw heeft Richard Henebry (1863-1916), een bekende Ierse nationalist, met behulp van Erich von Hornbostel, metingen verricht in het laboratorium van de Universiteit van Berlijn. Hij maakte hierbij gebruik van een zogenaamde Appun tonometer (een instrument met geijkte tonen) in combinatie met een Edison fonograaf. Henebry's manuscripten, met het resultaat van de metingen, die aan de hand van fonografische opnamen van veertien zangstukken uit het graafschap Waterford werden uitgevoerd, zijn in 1928 door de Cork University Press gepubliceerd (Henebry, 1928). De metingen van Henebry zijn door recente metingen, waaronder die van David Cooper, bevestigd (Cooper, 2005).

Een toonanalyse van het sean-nós-lied Eamonn a Chnuic ('Edmund from the Hill'), zoals deze door Richard Henebry is uitgevoerd. De getallen, die voorzien zijn van een 'o', zijn gemeten intervallen in cents. De overige getallen zijn gemeten toonfrequenties. Bron: (Henebry, 1928)

De volgende tabel geeft de gemiddelde waarden in cents van grote secunden, die aan de hand van Henebry's metingen, door David Cooper zijn uitgerekend. Hieruit blijkt ook grote mate van flexibiliteit van de zangers. De grote secunde van de evenredig zwevende temperatuur bedraagt 200 cents (Cooper, 2005):

Melodie-intervalGemiddelde waarden in centsStandaard-deviatie
A - B
G - A
A - G
E - F#
F# - E
210,2
187,5
184,2
206,4
219,8
56,2
40,4
51,9
45,4
42,0

Cooper meldt verder in zijn artikel On Imagining the Mediterranean, dat hij bij het bestuderen van de stijl van de Ulster-fiddler en -zanger Joe Holmes een uitgesproken tendens heeft waargenomen, waarbij de leidtoon (noot 4) een middenpositie tussen de submediant (6e toon) en de bovenste grondtoon inneemt. In het voorbeeld van de toonladder van C, bevindt de B zich een ca. 3/4 toon (ca. 150 cents) boven de A en een ca. 3/4 toon onder de c.
Frappant in dit verband is, dat de 3/4-toon een gangbaar interval in de Arabische maqâmat (modi) is. Doch, in tegenstelling tot de Arabische muziek, heeft het aanwenden van de 3/4-toon-interval door de Ieren geen theoretische betekenis, maar is mede het resultaat van de flexibile benadering door de Ierse zangers van de traditionele modaliteit.(Cooper, 2005).

9. Intonatie bij het volkslied van Wales

Met betrekking tot de uitvoering van het Welshe volkslied is een geïntoneerde dorische toonladder ('quasi dorisch modus') gerapporteerd, met name bij oudere zangers. Hier is sprake van een kwart-toon-verhoging (ca. 50 cents) en een verhoging die kleiner is dan die van een kwarttoon (<50 cents), doch groter dan die van een halve kwarttoon (>25cents). Deze inflecties werden door Dr. Alfred Daniel gerapporteerd en respectievelijk met de symbolen + (kwarttoon) en / (kleiner dan een kwartoon) aangegeven (Williams, 1932)

Quasi-dorische toonladder, hier in de stamvorm (D) genoteerd

10. Annotaties en bronnen

10.1 Voetnoten

  1. Inzake de Ptolemeïsche reeks. Willemze spreekt in dit verband van de reine stemming volgens Zarlino (Willemze, 1975).

    Willemze noemt nog een vorm van een diatonische natuurreeks, n.l. die van Aristoxenus (Willemze, 1975), alhoewel ik deze tot nu toe niet vanuit een andere bron bevestigd kon krijgen:

    Naar Willemze: Diatonische natuuurreeks volgens Aristoxenus.

  2. Het verband tussen de menselijke perceptie (zintuiglijke waarneming/interpretatie) en meetbare fysische grootheden, is te herleiden vanuit de toepassing z.g.n. psychofysische wetten. Deze wetten zijn feitelijk wiskundige operatoren, die het verband tussen perceptie en fysische grootheid goed benaderen. De eerste onderzoekingen op dit gebied zijn gedaan door de arts/natuurkundige Ernst Heinrich Weber (1795-1878) en psycholoog/natuurkundige Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Het resultaat hiervan is het wiskundig verband, die bekend staat als de wet van Fechner-Weber (ook Weber-Fechner). Deze wet impliceert, dat het verschil tussen twee percepties (G2 en G1) is te vertalen als de logaritme van de verhouding van twee meetbare fysische realiteiten (I2 en I1):

    G2 - G1 = C. log (I2/I1),

    waarin C een evenredigheidsconstante is, die afhankelijk van het type waarneming kan worden aangepast. Deze wet kent diverse implicaties op het gebied van bijvoorbeeld visuele sterrenkunde [zgn. stermagnituden of visuele lichtsterkte-verschillen tussen twee sterren, m2 - m1 = 2,5.log(s2/s1)], geluidsniveau [eenheid decibel: geluidsniveau (dB) = 10. log(I1/I2) ] en spectrofotometrie [lichtabsorptie of extinctie : E = log I0/I].

    De Engelse filoloog en wiskundige Alexander J. Ellis (1814-1890) introduceerde het begrip cents en paste deze toe in zijn vertaling van Helmholz 'Die Lehre von den Tonempfindungen' (1895). Het aantal cents wordt uitgerekend door middel van de formule:

    Hierin is n, het getal in cents, a/b de frequentie verhouding van het betreffende interval. Het getal 1200 is een evenredigheidsfactor, indien de logaritme voor het grondgetal 2 wordt gebruikt. Bij het gebruik van een rekenmachine is het handig om de formule ter herschrijven voor een logaritme voor het grondgetal 10. De evenredigheidsfactor bedraagt dan ≈3.986,3137:

    Per definitie geldt derhalve:

    Het komt er op neer, dat op de frequentieverhoudingen van de tonen, een wiskundige (logaritmische) operatie wordt uitgevoerd, zodat de grondtoon het cijfer 0 (nul) krijgt en het octaaf boven de grondtoon het getal 1200. De overige, tussenliggende tonen worden dan over het gebied tussen 0 en 1200 verdeeld.

    Voor hetzelfde doel, werd tijdens de 19e eeuw ook de eenheid savart ingevoerd, genoemd naar de Franse arts en natuurkundige Félix Savart. Doch deze eenheid is in de loop der tijd meer in onbruik geraakt:

  3. Logaritme. De logaritme wordt als volgt gedefinieerd:

    Als x = ay, dan is alog ay = y.

    Hierbij is a het zgn. grondtal van de logaritme (feitelijk de grondtal van de machtsverheffing). Vaak wordt het grondtal 10 toegepast, doch ander grondtallen zijn ook mogelijk. Bij toepassing van het grondtal 10 wordt de schrijfwijze 10log vaak vervangen door de 10 weg te laten of kortweg 'log' te gebruiken.
    Men kan de logaritme van het ene grondtal (g) naar het andere grondtal (g') omzetten door middel van:

    g'log a = (glog a)/(glog g').

    Bijvoorbeeld: 2log a = 10log a/10log 2 → 2log a ≈ 3,3219.10log a

    Andere eigenschappen van logaritmen zijn:

  4. Vanaf de 16e eeuw zijn er diverse interpretaties van de factor 12√2 ontwikkeld. De reden hiervan was dat het wiskundig lastig lag om de juiste lengte van deze waarde te projecteren op het monochord. Hiervoor ontwikkelde men diverse numerieke en meetkundige modellen om dit te verwezenlijken. De volgende benaderingen werden geleverd:

    12√2 ≈ 1,0594630943592952645618252949463
    Hô Tchhêng Thyên (AD 400)9000/8466≈ 1,0630758327427356484762579730687
    Vincenzo Galileï (1581)empirisch: 18/17 ≈ 1,0588235294117647058823529411765
    Simon Stevin (1596)10000/9438≈ 1,0595465140919686374231828777283
    Mersenne (1637)51192/448319≈ 1,0594590119828638837724290651711

  5. De leidtoon is de 7e toon van een majeur- of harmonisch-mineur-toonladder, waarvan de spanning kan oplost naar de grondtoon. B.v. in de toonladder van C: C-D-EF-G-A-Bc, is de toon B de leidtoon die oplost naar c. Zie ook: Hoofdstuk Toonsystematiek: Tonaal systeem.

10.2 Geraadpleegde bronnen

Literatuur

Naslagwerken

Www

10.3 Aanvullende informatie

Www