Musicologie van de Keltische en naburige stijlen

[Home][Info][Introductie][Cultuurhistorische onderwerpen][Dans en danshistorie][Vorm, technieken en idioom][Toonsystematiek][Akkoordenleer][Harmonie][Extra]

Stemmingen, intonatie en tempereringen

1. Inleidende terminologie

• Geluid wordt veroorzaakt door luchttrillingen, die kunnen worden teweeggebracht door het opwekken van mechanische trillingen.
• Klank is een nuance op het begrip geluid. Klank duidt op één of andere manier, op een vorm van welluidendheid. Niet-welluidende geluiden zijn: slag, geklop, geraas, geruis, geschraap, etc.
• Toon is de perceptie van het menselijk gehoor, waarmee een specifieke welluidende geluidstrilling wordt waargenomen.
• Frequentie of trilingsgetal. De natuurkundige grootheid van het aantal trillingen per seconde, dat door een trilling (geluidsgolf, lees: toon) wordt voortgebracht.
• Eenheid van frequentie: is de Herz (Hz)

  Geluid is het verschijnsel van trillingen, die wordt veroorzaakt door het verplaatsingsgedrag van de luchtdeeltjes in de vorm van een golfbeweging van plaatselijke verdikkingen (compressies) en verdunningen (depressies).

• Timbre of klankkleur wordt veroorzaakt door het karakter van de geluidsbron. Deze wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van bepaalde 'neventrillingen', zgn. boventonen of harmonische trillingen.
• Octaaf (1), is de waargenomen toonafstand (interval) tussen twee tonen, waarvan de trillingsgetallen zich onderling een factor twee verhouden.
• Octaaf (2), het toongebied binnen de Westerse toonsystemen, waarin in principe alle stamtonen en afgeleide tonen aanwezig zijn.
• Toonladder (Engels: 'scale'), een opeenvolging van tonen in de volgorde van toenemende toonhoogte.
• Stemming (Engels: 'tuning'), het instellen van de toonhoogten van een instrument, volgens een bepaalde geaccepteerde norm.
• Intonatie, (geldt b.v. voor zang en fretloze snaarinstrumenten, zoals de viool), een graad van nauwkeurigheid, cq. zuiverheid waarin toonhoogten worden voortgebracht.
• Temperering (Engels: 'temperament'): een systeem van 'fijn'-stemming, met als resultaat dat de reeks intervallen iets afwijken van de oorspronkelijke natuurzuivere basis. Ondanks het verschil in betekenis, worden de termen intonatie en temperering overigens dikwijls door elkaar gebruikt.

Lees vervolgens van dit hoofdstuk het onderdeel Toonladders en intervallen. Hierin worden de volgende termen besproken: stamtoonladders, octaven, diatoniek, intervallen: prime, secunde, terts, kwart, kwint, etc.. Kleine, grote, overmatige en verminderde intervallen, enharmonische gelijkheid en chromatiek.

Andere zaken die van belang zijn:

• De standaardtoon, normaaltoon of stemtoon (in het Engels bezigt men in dit verband de term 'concert pitch'.): Dit is de toon a-ééngestreept of a¹, die in 1939 in London is vastgesteld op 440 Hz. Voordien werd deze op 435 Hz gehouden. In het verleden bestonden over deze 'diapason normal' meningsverschillen, zoals blijkt uit de getallen 374 Hz (Parijs 1648, gelijk aan onze huidige f#¹) en 503 Hz (geschat vanuit Halbertstadt 1361, gelijk aan onze huidige c♭²) (Willemze, 1975).

  Beschrijving van de 19e eeuwse wijze waarop een geluidstrilling door middel van een stemvork kan worden geregistreerd. Een illustratie uit: Sensations of Tone (1895).	Tegenwoordig kunnen trillingen en golven door middel van een oscilloscoop zichtbaar worden gemaakt. Foto van de auteur.

  Vermeldenswaard in dit verband, en gezien het onderwerp van deze website, is dat de toonhoogte van zgn. Low-A van de Schotse Great Highland Bagpipe in de loop der tijd enorm aan verandering onderhevig is geweest en derhalve niet in 'concert pitch' staat. Voor het eerst is daar, tussen 1954 en 1961 serieus onderzoek naar gedaan. Voor deze toon, werd een gemiddelde frequentie gemeten van 459 Hz, een getal dat overigens in het algemeen werd geaccepteerd en daarbij in de buurt van a♯¹ of B♭¹ van 466 Hz komt. In de loop der tijd, zelfs van tientallen jaren, is toon van de Low A geleidelijk verder omhoog gebracht. Tegenwoordig bevindt deze zich tussen de 470-480 Hz, hetgeen zelfs hoger is dan de a#¹.
  (Lees meer over de stemming en intonatie van de Great Highland Bagpipe op deze pagina, in sectie 6)

• Het monochord of canon. Een snaarinstrument dat is bedoeld voor wetenschappelijk onderzoek naar het verband tussen de toonhoogte en snaarlengte, die reeds door de oude Grieken (Pythagoras, Euclides, Aristoxenus) in praktijk werd gebracht. Het bestaat uit een eenvoudige klankkast, voorzien van een span- of stemmechanisme, waarover één of meerdere snaren zijn gespannen, waarbij de toonhoogte en snaarlengte door middel van een beweegbare ruiter gevarieerd kan worden.

  Afbeelding uit: Bibliothek allgemeinen und praktischen Wissens für Militäranwärter Band III, 1905

  Pythagoras onderzoekt de wetmatigheden met betrekking tot tonen en intervallen. Houtsnede uit Theorica Musicae van Franchinus Gafarius, Milaan 1492

• Het verband tussen frequentie en snaarlengte: De natuurkunde beschrijft het verband tussen de verhoudingen van de trillingsgetallen met betrekking tot de verhoudingen van de snaarlengten (dit geldt overigens ook voor de lengten van b.v. orgelpijpen met gelijke dikte), overeenkomstig de resultaten van metingen van Pythagoras etc. op het monochord. Het blijkt dat de verhouding van de snaarlengten omgekeerd evenredig met de frequentie is, dat wil zeggen, bijvoorbeeld dat de frequentie van een trilling (lees toon) twee keer zo groot wordt als de snaarlengte tot de helft wordt ingekort. In formulevorm is dit voor te stellen als:
  f1/f2 = L2/L1,
  
  (waarin f1/f2 is de verhouding van de trillingsgetallen en L2/L1 de onderlinge verhouding van de bijbehorende snaarlengten is)

• Zweving is het effect, dat optreedt bij gelijktijdig klinkende tonen, die onderling een minimale verschil in frequentie bezitten. Het resultaat hiervan is een regelmatige wisseling in geluidsterkte (feitelijk uitdoving en versterking, een natuurkundig verschijnsel dat interferentie wordt genoemd). Naarmate de tonen qua frequentie elkaar dichter naderen wordt het aantal zwevingen per seconde steeds kleiner en is daarom een handig hulpmiddel bij het stemmen van instrumenten.

2. Het natuurlijke toonsysteem

De grondtoon C (66 Hz) en vijftien van de meeklinkende boventonen.

In bovenstaande figuur zijn de tonen, die precies een serie octaven op C opleveren met zwart aangeven. Dit zijn steeds verdubbelingen van de frequenties: resp. genummerd met 1, 2, 4, 8 en 16, die dan resp. de tonen C, c, c¹, c² en c³ opleveren. Rood begint met een trillingsgetal van 3× de grondtoon (3e harmonische). Dit is een toon g, die een kwint boven c staat. De verdubbeling hiervan (2 × 3 = 6e harmonische), geeft de toon g¹. Een paar tonen wijken af van onze toonsystemen, waardoor ze niet geheel zuiver klinken. Deze worden met een plusje (iets te hoog) of minnetje (iets te laag) aangegeven. Dit zijn de zgn. ekmelische boventonen. Dit zijn veelvouden van de grondtoon ter grootte van de priemgetallen 7, 11, 13, 17, etc. en de veelvouden daarvan: 14, 22 etc. De overige, welluidende boventonen heten emmelische boventonen. De intensiteit van de afzonderlijk boventonen, bepaalt de klankkleur of timbre van stem of instrument (Willemze, 1975).
Vanuit de natuurtonen kan men een toonladder construeren, waarvan de intervallen natuurzuiver zijn. De stemming die deze natuurzuivere intervallen met zich meebrengt heet reine stemming. Aan de hand van de frequentieverhoudingen zijn alle natuurzuivere intervallen te berekenen.

We kunnen de harmonische trillingen eveneens illustreren door middel van de onderstaande afbeelding, die zeven mogelijkheden van bijvoorbeeld vrije trillingen in een trillingslichaam (b.v. snaar, orgelpijp) toont. Deze kunnen bijvoorbeeld als z.g.n. flageolettonen op een snaarinstrument worden geproduceerd.

De eerste zeven harmonische tonen, voorgesteld als mogelijkheden van vrije trillingen van een trillingslichaam (snaar, orgelpijp, etc), waarmee het verband tussen frequentie en lengte wordt geïllustreerd. Bron: Wikipedia

Als de snaarlengten in tweeën, drieën, vieren of vijven wordt verdeeld, ontstaan steeds hogere tonen waarvan de frequenties zich als gehele getallen van de grondtoon verhouden, resp. 2 : 3 : 4 : 5. Bijvoorbeeld, als de grondtoon C (66 Hz) is, dan levert zo'n snaarverdeling resp. de frequenties 132, 198, 264 en 330 Hz op. Deze tonen komen als natuurzuiver op het gehoor over, omdat de frequentiegetallen mooi met de betreffende tonen van de boventoonreeks overeen komen. De verhouding van de trillingsgetallen kunnen we mooi illustreren door middel van het volgende figuur, waarbij dit keer de grondtoon c¹ wordt gebruikt:

De verhouding van de lengte van het trillingslichaam (snaar, pijp), de bijbehorende verhouding van trillingsgetallen en de bijhorende tonen, als men uitgaat van de grondtoon c1.

De vijf tonen met deze specifieke trillingsgetalverhoudingen, behoren tot de z.g.n. reine stemming. De overige tonen kunnen uit deze vijf worden berekend, zodat de reine diatonische toonladder kan worden vastgelegd. Vanuit het figuur lezen we de volgen de intervallen:
Het rein octaaf heeft een verhouding van c² : c¹ = c³ : c² = 2 : 1 Een reine kwint met de verhouding g2 : c2 = 3 : 2 Een reine kwart met de verhouding c3 : g2 = 4 : 3 Een grote terts met de verhouding e3 : c3 = 5 : 4 Een grote sext met de verhouding e2 : g2 = 5 : 3 Een groot decime met de verhouding e3 : c2 = 5 : 2

Uit deze bovenstaande verhoudingen, zijn de overige intervallen te berekenen: Bijvoorbeeld: de kleine terts is een octaaf minus een grote sext: Octaaf: c3 : c2 = 2 : 1 = 6 : 3 Grote sext: a2 : c2 = 5 : 3 Kleine terts: c3 : a2 = 6 : 5

Het is niet bedoeling om alle berekeningen te laten zien, daarom geef ik hier het resultaat van de diatonische intervallen.

Opvallend zijn twee waarden van de kleine septiemen, overmatige kwarten en verminderde kwinten. Dit is het gevolg van het bestaan van twee grote secunden, die als volgt worden berekend:
reine kwint g : c = 3 : 2 = 12 : 8
reine kwart g : d = 4 : 3 = 12 : 9
grote secunde d : c = 9 : 8
Deze grote secunde wordt grote hele toon genoemd.

en

reine kwart g : d = 4 : 3 = 12 : 9
kleine terts g : e = 6 : 5 = 12 : 10
grote secunde e : d = 10 : 9
Deze grote secunde heet kleine hele toon

Het verschil tussen de grote en kleine hele toon wordt de komma van Didymos (didymische komma) of syntonische komma:
grote hele toon 9 : 8 = 90: 80
kleine hele toon 10 : 9 = 90 : 81
syntonische komma: 81 : 80

De volgende afbeelding toont de reine of natuurzuivere diatonische reeks, de toonladder van C (majeurtoonladder), waarin de intervallen ten opzichte van grondtoon c¹ zijn aangegeven, alsmede de posities van de kleine secunden en die van de grote en kleine hele tonen. Deze reeks staat ook bekend als de Ptolemeïsche reeks, naar Ptolemeus (2e eeuw), die deze reeks intervallen aanduidde met 'intens diatonisch' (Parch, 1974) of 'diatonisch syntanon' (Barbour, 1951) (noot 1).

De diatonische natuuurreeks (majeur), bovenaan met de frequentieverhoudingen ten opzichte van de grondtoon (de laatste staat in de teller van de breuk). Onderin de afbeelding staan de posities van de grote en kleine hele toon, alsmede de diatonische halve tonen weergegeven.

Rest nog de bespreking van enkele termen.
Te beginnen met de chromatische halve tonen. Dit zijn binnen de reine stemming: de kleine halve toon en het kleine limma (Willemze, 1975).
De kleine halve toon is de verschiltoon van de kleine hele toon (10 : 9, b.v. d - e) en de kleine secunde (16 : 15, b.v. d - e♭). De 'chromatische' kleine halve toon wordt derhalve: 10/9 × 15/16 = 150/144 = 75/72 = 25/24.

Het kleine limma is het verschil van de grote hele toon (9 : 8, b.v. c - d) en de kleine secunde (16 : 15, b.v. c - d♭). Het kleine limma is dan: 9/8 × 15/16 = 135/128.

Het verschil-interval tussen twee enharmonische tonen (het z.g.n. enharmonisch interval) in de reine stemming, zijn de kleine diesis en het diaschisma. Van welke van de twee sprake is, hangt af vanuit welk toongebied ze worden berekend.
Is dit toongebied een kleine hele toon, dan is er sprake van kleine diesis:
Bijvoorbeeld binnen het toongebied d - e (een kleine hele toon), zijn twee enharmonische tonen mogelijk, namelijk de d♯ en de e♭:
d - e♭ is een kleine secunde (16/15) en d♯ : d is een kleine halve toon (25/24).
Het verschilinterval, de kleine diesis (d♯ - e♭) is derhalve 16/15 × 24/25 = 384/375 = 128/125 (= 2048/2000)

Is het betreffende toongebied een grote hele toon, dan verkrijgt men het diaschisma:
Bijvoorbeeld binnen het toongebied c - d (een grote hele toon), bevinden zich de enharmonische tonen de c♯ en d♭:
c♯ - d is een kleine secunde (16/15) en d♭ - d is een klein limma (135/128). Het verschilinterval, het diaschisma (c♯ - d♭) is dus 16/15 × 128/135= 2048/2025

Hieruit blijkt het fysische verschil van enharmonische tonen in de reine stemming, waarin het interval diaschisma duidelijk nauwer is dan de kleine halve toon.

Hele kleine intervallen zoals de syntonische komma, kleine diesis en diaschisma worden vaak microintervallen genoemd.

3. Het pythagoreïsche systeem

Zie ook: onder het hoofdstuk Toonsystematiek: Griekse toonladdertheorieën en modaliteit, Laat-Romeinse en middeleeuwse muziektheorieën.

Enkele berekeningen voor het pythagoreïsch systeem.
1. de reine kwart, die als de omkering van reine kwint kan worden beschouwd, dat betekent het octaaf minus kwint: 2/1 ÷ 3/2 = 2/1 × 2/3 = 4/3

2. de grote secunde. Deze gaat als volgt: reine kwint + reine kwint - octaaf [b.v. (c - g) + (g - d¹) - (d - d¹)]:
3/2 × 3/2 ÷ 2/1 = 9/4 × 1/2 = 9/8
Uit deze berekening blijkt dat, in tegenstelling met het natuurlijk systeem, slechts één type grote secunde (hele toon) bestaat.

3. de grote sext. Dit is de som van een reine kwint en een grote secunde: 3/2 × 9/8 = 27/16

4. grote terts: grote sext + reine kwint - rein octaaf [b.v. c - e verkrijgt men uit (c -a ) + (a - e¹) - (e - e¹)]:
27/16 × 3/2 ÷ 2/1 = 27/16 × 3/2 × 1/2 = 81/64 (feitelijk de som van twee grote hele tonen uit het natuurstelsel: 9/8 × 9/8 = 81/64)

5. kleine secunde: reine kwart terts - grote terts = 4/3 ÷ 81/64 = 4/3 × 64/81 = 256/243. Dit interval, de pythagoreïsche (diatonische) halve toon wordt limma genoemd. De limma (256/243) is een syntonische komma (81/80) kleiner dan de natuurlijke kleine secunde (16/15):
16/15 ÷ 256/243 = 16/15 × 243/256 = 3888/3840 = 81/80.

De volgende afbeelding toont de pythagoreïsche diatonische reeks, als de toonladder van C (majeurtoonladder), waarin de intervallen ten opzichte van grondtoon c¹ zijn aangegeven, alsmede de posities van de kleine en grote secunde.

De diatonische pythagoreïsche reeks (majeur) met bovenaan, de frequentieverhoudingen ten op zichte van de grondtoon (de laatste staat in de teller van de breuk). Onderin de afbeelding staan de posities van de grote en kleine secunden weergegeven.

Uit dit overzicht mag het duidelijk zijn, dat het pythagoreïsche systeem veel meer complexere breuken dan het natuurlijke systeem oplevert. Doch, zoals we zagen, kent het wel het voordeel van slechts één soort grote secunde. Die feitelijk gelijk is aan de grote hele toon van de natuurtonenreeks (8/9). Er is ook één pythagoreïsche diatonische halve toon (limma, 256/243). Hieruit valt de chromatische halve toon te berekenen, die apotome wordt genoemd.
Dit kan toegelicht worden met het voorbeeld, waarin c-d de grote secunde (pythagoreïsche hele toon, 9/8) is, en c-d♭ de limma. Het verschil-interval is de chromatische halve toon d♭-d.
De trillingsgetal-verhouding van deze chromatische halve toon is dan als volgt te berekenen:

Andere intervallen:
De grote diesis is het verschilinterval tussen de limma en kleine diesis : 256/243 ÷ 128/125 = 256/243 × 125/128 = 32000/31104 = 250/243
Het grote limma is de som van een kleine diesis en klein limma: 125/128 × 128/135 = 25/27
Het uiterst kleine microinterval schisma is het verschil tussen de pythagoreïsche een syntonische komma: 531441/524288 ÷ 81/80 = 531441/524288 × 80/81 = 42515280/42467328 = 32805/32768

4. Inzake intonatie en instrumentstemming

4.1 Intonatie

4.2 Stemming van toetsinstrumenten

Er doet zich binnen het pythagoreïsche systeem echter nog een onvolkomenheid voor. Als we ons even de toonreeks van 12 gestapelde kwinten voorstellen door middel van de oplopende serie:

De tonen d♯⁶ en e♭⁶ zijn enharmonische tonen, waarvan we weten dat het verschil tussen deze twee een pythagoreïsche komma (524288/531441) bedraagt, waarbij de d♯ hoger is dan de e♭ doch bij het een toetsinstrument moet één van de twee tonen gekozen worden. Men heeft gekozen voor de e♭, zoals dat reeds gold voor de zeven octaven lager liggende E♭. Een en ander heeft consequenties voor de laatste kwint van de serie, feitelijk is dit interval G♯⁴ - E♭⁵ (feitelijk een verminderde sext).

Het interval E♭-d♯⁶ is een stapeling van 12 reine kwinten, die derhalve (3/2)¹² bedraagt. E♭-e♭⁶ zijn een interval van zeven gestapelde octaven, en bedraagt dus (2/1)⁷

Het intervalverschil is (3/2)¹² ÷ (2/1)⁷ = (3/2)¹² × (1/2)⁷ = (3¹²)/(2¹⁹) =531441/524288 Hieruit volgt dat de laatste berekende kwint van de serie G♯ - D♯, de pythagoreïsche komma groter dan de G♯ - E♭. Omdat juist gekozen is voor de E♭ onder de zwarte toets, is de laatste 'kwint' derhalve het interval G♯ - E♭ (eigenlijk een verminderde sext). Dit interval staat bekend om zijn 'jankend', 'huilend' geluid en wordt daarom wolfskwint (orgelwolf) genoemd. Deze wolfskwint is derhalve 3/2 × 531441/524288 = 1594323/1048576 ≈ 1,5305 (reine kwint 2/3 = 1,5)

We kunnen het laatst geval mooi illustreren door middel van de zogenaamde kwintencirkel. Indien enharmonische tonen precies aan elkaar gelijk zijn, dan is de cirkel precies gesloten. Dit is dus niet het geval bij de pythagoreïsche stemming, waarbij een overlap van een pythagoreïsche komma plaatsvindt.

Schematische voorstelling van de kwintencirkel. Links, de gesloten vorm voor het geval dat enharmonische tonen aan elkaar gelijk zijn en rechts de overlappende kwintencirkel, die kan worden afgeleid vanuit de pythagoreïsche stemming.

4.3. Toonschreden. De eenheid cents

Hier volgt een overzicht van overige hierboven besproken intervallen in cents:

Het natuurtonensysteem:

Het pythagoreïsche systeem:

Halve tonen in cents:

Verschil- en somtonen:

4.4  Tempereringen

De tekortkomingen van de reine en pythagoreïsche stemmming heeft men proberen te ondervangen door middel van minimale veranderingen van bepaalde tonen, en wel zodanig dat deze zich op de grens van het acceptabele bevonden en niet als storend werden ervaren. Het toepassen van dit soort kleine toonvariaties, noemt men tempereren (sommige auteurs gebruiken in dit verband 'intonatie', dat feitelijk een iets andere betekenis heeft). De eerste ontdekking van het benoemen van een wijze van temperering, is gedaan door Riemann in een passage in de Practica musica (1496) van Franchinus Gaffurius (1451-1522).
De Duitse organist en musicoloog Arnold Schlick (ca. 1450 - ca. 1525) maakte in zijn 'Spiegel der Orgelmacher und Organisten' (1511) reeds melding van tien verlaagde en twee verhoogde kwinten, alsmede twaalf verhoogde tertsen (Barbour, 1951). Gedurende de 16e eeuw heeft men bijzonder veel rekenwerk verricht met betrekking tot de vele mogelijkheden van temperering.

Alhoewel Pietro Aaron (ca. 1480 - ca. 1550) in zijn Toscanello in musica (1523) in deze richting steminstructies gaf, werd de zogenaamde middentoonstemming voor het eerst systematisch uitgewerkt door Gioseffo Zarlino (1517-1590). Aanvankelijk in zijn Istitutioni harmoniche (1558), Dimostrationi armonische (1571) en later in de heruitgaven van Istitutioni harmoniche (1573), alwaar hij de ²/7-komma, en de ¼-middentoonstemming beschreef (Rasch, 2002). Eveneens maakte hij in laatste Istitutioni harmoniche (1573), melding van de variant, die ¹/3-komma middentoonstemming wordt genoemd. Deze is toegeschreven aan Francisco Salinas (1513 - 1590) (Barbour, 1951). De ¼-komma middentoonstemming is zeker tot in de 18e eeuw het meest beschreven en was gedurende deze periode de meest gebruikte stemming bij toetsinstrumenten.

4.5 De ¼-komma middentoontstemming

[vier gestapelde kwinten - (minus) twee octaven] = pythagoreïsche grote terts:

[vier gestapelde kwinten - (minus) twee octaven)] - (minus) syntonische komma] = reine grote terts:

Als we binnen de toonschaal dus een natuurzuivere grote terts willen hebben, dan moet de syntonische komma over vier kwinten worden uitgesmeerd, door elk een ¼ syntonische komma te verkleinen:

Als we even de majeurtoonladder van C ter hand nemen:

De ¼-komma middentoonstemming gaat nu als volgt:

• alle grote tertsen worden rein (C-E, F-A, G-B) dus 5/4.
• de oorspronkelijk natuurzuivere kwint (C-G) wordt met ¼ van de syntonische komma verkleind: 3/2 . ⁴√(80/81) = ⁴√[(2⁴ . 5)/3⁴] = ⁴√5 .
• de kwart (C-F) wordt 1/4 van de syntonische komma vergroot: 4/3 . ⁴√(81/80) = ⁴√[3⁴/(2⁴ . 5)] = 2 . ⁴√(1/5)
• de twee grote secunden C-D en D-E, waaruit de reine grote terts C-E is opgebouwd, komt tot stand door de grote terts gelijk op te delen in twee gelijke intervallen (vandaar de naam middentoonstemming). Iedere grote secunde wordt dus (5/4)^½ = √(5/4) = ½ . √5

Berekening van de rest van de diatonische reeks (C-majeur) levert:

Het interval E♭-d♯⁶ bedraagt 12 gestapelde verkleinde middentoon-kwinten, deze bedraagt (⁴√5)¹².
E♭-e♭⁵ is een interval van 7 gestapelde octaven, en bedraagt (2/1)⁷

Het intervalverschil is dan (⁴√5)¹² ÷ (2/1)⁷ = (5^¼)¹² × (1/2)⁷ = (5³)/(2⁷) = 125/128 (-41 cents). De wolfskwint G♯ - E♭ is dus 41 cents groter dan de getempereerde kwint.

Als we dit in de kwintencirkel illustreren, dan krijgen we de onderstaande figuur.

Schematische voorstelling van de kwintencirkel, die vanuit de ¼-komma middentoonstemming is afgeleid.

4.6 De ¹/₃-komma middentoontstemming

De ¹/3-komma middentoontstemming levert dezelfde hele tonen op (≈ 189,5725 cents), vandaar de naam middentoonstemming, verder natuurzuivere kleine tertsen (6/5 of 316 cents), natuurzuivere tritonus of overmatige kwart (25/18 of 569 cents) en natuurzuivere grote sexten (5/3 of 884 cents). De kwint is echter ¹/3-komma kleiner geworden, zodat in vergelijking met de gewone middentoonstemming een nog ruimere wolfskwint optreedt.
Het verschil van 12 getempereerde kwinten en zeven octaven, levert: {3/2 × ³√(81/80)}¹² × (1/2)⁷ = 10000/81 × 1/128 = 625/648, ca. -63 cents. Met andere woorden de wolfskwint is dus 63 cents groter dan de getempereerde kwint (695 cents).

Schematische voorstelling van de kwintencirkel, die vanuit de 1/3-komma middentoonstemming is afgeleid.

Alhoewel deze stemming, ondanks de natuurzuivere intervallen minder plezierig klinkt, ten minste als we uitgaan van een octaaf dat uit 12 tonen is opgebouwd, bleek het op een andere manier beter toepasbaar te zijn. Salinas stelde voor om het octaaf uit 19 tonen samen te stellen, hetgeen gemakkelijk met behulp van het monochord, uitvoerbaar is. Zeven tonen konden worden gevonden, door aanvankelijk boven en onder grondtoon reine kleine tertsen te plaatsen:

• C
• E♭ (uit: C-E♭)
• A (uit: C-A)
• G♭ (uit: E♭-G♭)
• F♯ (uit: F♯-A)
• D♯ (uit: D♯-F♯)
• B♯ (uit: B♯-D♯)

Om de tonen D en E te verkrijgen, werden drie gemiddelden tussen de tritonus C-F♯ aangewend. De rest van de tonen kunnen worden verkregen door kleine tertsen boven en onder D en E te plaatsen.

De voordelen van dit 19-toonssysteem zijn, dat er geen wolfskwint aangeslagen hoeft te worden (de stemming is circulair, vanwege een doorlopende kwintenspiraal), dat het systeem is gesloten, hetgeen wil zeggen dat de muziek in alle toonsoorten transponeerbaar (om te zetten van de ene gelijksoortige toonsoort naar de ander) is. Omdat alle tonen bovendien onderling een gelijke afstand van elkaar verschillen, n.l. ≈ 63,5037 cents, is hier sprake van een vorm van een evenredige stemming (Engels: 'equal temperament'), hoewel Salinas en Zarlino zich niet van het laatste bewust waren.

Een schematische voorstelling van de doorlopende kwintencirkel (eigenlijk: kwintenspiraal) voor het 19-toonssysteem, dat vanuit het ¹/3-komma middentoontstemming is berekend.

Zarlino publiceerde in zijn Institutioni harmoniche een afbeelding van een klavecimbel, waarin hij voorstelde hoe een 19-toons klavier geconstrueerd kan worden. Dit model was reeds in 1548 door Domenico Pesarese gebouwd.

Zarlino's ontwerp voor een 19-tonen-klavier. De rode kleur is door de auteur toegevoegd. Uit: Zarlino's Institutioni harmoniche

4.7 De ²/₇-komma middentoontstemming

Zo ontstaat het beeld voor een klavier dat 12 noten per octaaf bevat, in vergelijking met de ¹/₄- en ¹/₃-middentoon stemmingen:

4.8 Selectiestemmingen

Johann Sebastian Bach (1685-1750). Geschilderd portret door Elias Gottlob Haussmann (1748).

4.9 Evenredig zwevende stemming

De eerste aanwijzing voor instrumentstemming, die met de ET kan worden geïdentificeerd is afkomstig van Giovanni Maria Lanfranco (1533). Deze stemming was aanvankelijk bedoeld voor het stemmen van de klavichord en orgels, doch later uitgebreid voor gefrette snaarinstrumenten. Het principe was eenvoudig: stem de kwinten zodanig te laag, zodat ze voor het gehoor op grens van welluidendheid bevinden, en stem de grote tertsen zodanig hoger, dat ze net aan worden verdragen. Bovendien gaf Lanfranco aan, dat het in sommige gevallen mogelijk is, dat de zwarte toetsen voor de F♯ en C♯ eveneens voor resp. de G♭ en D♭ aangewend mogen worden. Lafranco's systeem werd door sommige tijdgenoten overgenomen, hetgeen niet bepaald in overeenstemming was met het pythagoreïsche systeem, die bij Lafranco's tijd algemeen in zwang was. (Barbour, 1951)

De eerste Europeaan die er in was geslaagd om het monochord, volgens het '12-e machtswortel uit twee'-principe (zie volgende alinea), bij benadering te verdelen (noot 4), was de Nederlandse natuurkundige Simon Stevin ('Spiegeling der Singconst', ca. 1596). Gelijktijdig met Stevin, werkte in China, Prins Tsai-yü hetzelfde principe meer nauwgezet uit. (Barbour, 1951)

De evenredig zwevende stemming, waarbij de verdeling van een octaaf (2:1) in twaalf gelijke intervallen is gedeeld, werkt als volgt:
per definitie geldt voor de octaaf de frequentieverhouding 2/1 = [(¹²√2)¹²]/1.
Elke chromatische of diatonische halve toon heeft dan de verhouding ¹²√2 : 1 ten opzichte van een zekere ondertoon.
Zo is de frequentie van een willekeurige toon (f), boven die van een bekende ondertoon (F) als volgt te berekenen: f = F.¹²√2ⁿ of f = F.2^n/12, waarin 'n' het aantal halve tonen boven de ondertoon voorstelt.
Als we dit in cents uitdrukken, krijgen we voor het octaaf, zoals gewoonlijk 1200 cents, en voor iedere chromatische of diatonische halve toon 100 cents.
Het nadeel van deze evenredige stemming is, dat er behalve het octaaf, geen natuurzuivere intervallen meer aanwezig zijn. De 'reine kwint' in de ET bedraagt dus per definitie 700 cents, hetgeen een fractie (2 cents) kleiner is dan de natuurzuivere reine kwint van 702 cents. De tegenwoordige 'reine' kwinten en kwarten zijn dus eigenlijk niet rein.

Hieronder volgt een schematisch overzicht van een aantal systemen in vergelijking met de evenredig zwevende stemming:

Klik hier voor een vergroting.

Zie ook appendix A: Toonfrequentietabel voor de evenredige zwevende stemming.

4.10 Stemming van de luit

Vicenzo Galileï gelukte het, om een empirisch gevonden manier toe te passen om een luit van fretten te voorzien (Dialogo della musica antica e moderna, 1581), waarbij de enharmonische tonen aan elkaar gelijk waren gesteld. Bij deze benadering, deelde hij de halve tonen op volgens de snaarlengteverhouding 17:18, waarbij volgens zijn zeggen, de twaalfde fret precies in het midden van de snaar uitkwam. Dit was niet helemaal correct. Twaalf keer een interval van 18/17 levert (18/17)¹² = ca. 1,98556, dat slechts een fractie kleiner is dan 2! Hetgeen neer komt op een verschil van 12,5 cents, zodat de laatste halve toon B-c ruimer is, dus 111,5 in plaats van 99 cents.
Deze proefondervindelijke afstand van de snaarlengte verhouding voor de halve toon van 17/18, blijkt bij benadering ongeveer gelijk te zijn aan ¹²√2. Zodat op deze wijze de huidige evenredig zwevende stemming werd benaderd. Hieronder een overzicht van Galileï's snaarstemming, uitgedrukt in relatieve snaarlengten en in cents. (Barbour, 1951)

Luit uit Mersenne's Harmonie universelle (1637)

Later zijn door o.a. Mersenne (Harmonie universelle, 1637) enkele correcties uitgevoerd om de afwijkingen te compenseren. Een betere benadering voor een halve toon, is derhalve de verhouding 51192:48319. (Barbour, 1951)

De Engelse luitenist John Dowland (ca. 1563 - 1626), had echter, overeenkomstig de visie van zijn tijdgenoten, een voorkeur voor het aanwenden van het pythagoreïsche systeem . Om de halve tonen geschikt te maken voor toepassing op de luit, voerde Dowland kleine correcties uit (Robert Dowland, Variety of Lute Lessons, 1610: 'Other Necessary Observations to Lute -playing by John Dowland').

5. Stemming en temperering van de insulaire harp

5.1 Stemming van de Ierse harp naar Bunting

Buntings stemming van harp in zijn Ancient Music of Ireland (1840)

5.2 Stemming van de Welshe harp voor cerdd dant

De harpstemming voor de cerdd dant ligt ingewikkeld. Ten eerste is er slechts één bruikbare bron om de muziek zelf, nader te kunnen analyseren. Dit is het 17e-eeuwse Robert ap Huw-manuscript (RaH-MS). Verder is er voor onderzoek een beperkt aantal oude manuscripten beschikbaar, dat slechts fragmentarische kennis biedt. Er zijn veel experts, die zich over de interpretatie van het RaH-MS hebben gebogen. Voor wat betreft de harpstemming, zijn in de afgelopen paar honderd jaar diverse interpretaties ontwikkeld, die een complexiteit aan harpstemmingen opleverden, die vaak niet of slecht op de muziek zelf toepasbaar was. Uiteindelijk is het de Welshe musicus en musicoloog Peter Greenhill gelukt om een relatief eenvoudige, doch binnen één harpstemming, een plausibele theorie op te stellen, waarbij hij diverse tempereringen voorstelt, die een wezenlijk onderdeel van de cerdd-dant-traditie vormden. Greenhill is tot zijn theorie gekomen, vanuit bewijzen dat de middeleeuwse harmonie (lees akkoorden!), die in de cerdd dant werd aangewend, de meest zuivere samenklank dienden te geven. Dit betekent, natuurzuivere harmonische tertsen en waar nodig natuurzuivere kwinten. Dit gegeven wijkt dus af van het, toen algemeen geaccepteerde pythagoreïsche systeem, dat wel reine kwinten, doch geen welluidende tertsen met zich meebracht.
Het gaat te ver om op deze pagina deze theorie in detail te bespreken, zodat ik u beter kan verwijzen naar een ander hoofdstuk van deze website, n.l Vormen en Technieken: Cerdd dant. Deel 2. Het Robert-ap-Huw-manuscript: de stemming, temperering en speeltechniek: Stemming en intonatie.

Het volgende overzicht toont een overzicht van de lettersymbolen van RaH-MS, die zoals men voorheen veronderstelde, geen snaarnamen voorstellen, maar de werkelijke tonen, die op de harp werden geproduceerd. Er blijkt dat in dit diatonische systeem, echter één restrictie noodzakelijk is, namelijk dat het symbool voor b, een b-rotundum voorstelt, waarmee de b-molle of de toon bes b♭ wordt bedoeld.

Het laatste blijkt gemakkelijk in te zien als men er vanuit gaat, dat de smaak van samenklank ten tijde van cerdd dant grotendeels overeenkomt met de heersende muzikale opvattingen met betrekking tot consonantie en dissonantie in de kunstmuziek van het Europese vasteland. Men hanteerde, vanuit de Guidoneaanse hexachordiek één soort chromatische verbuiging, n.l. de verlaging van b naar bes. Feitelijk was de toon bes niet louter een afgeleide van de toon b, maar een volkomen gelijkwaardige toon.

Een cywair die buiten de bovenstaande voorgeschreven cyweiriau valt is Uwch Gywair (Uwch: 'onderste').

De basis van de harpstemming, zoals dit in het RaH-MS wordt gehanteerd, is volgens Greenhill de volgende ongetempereerde, diatonische pythagoreïsche stemming:

Op deze pagina werd in dit verband reeds de middentoonstemmingen besproken:

De volgende, zogenaamde onregelmatige tempereringen op het pythagoreïsch systeem, hebben in het onderzoek van Greenhill een rol gespeeld: (met + is aangegeven, dat de toon met een syntonische komma (SK) is verhoogd en met een -, met een SK is verlaagd.)

Vijf van de zo verkregen toonschalen worden door Greenhill als volgt verder geïdentificeerd:

• Greenhill 1: is de vierde omkering (dat wil zeggen met de vijfde toon als nieuwe basistoon) van de natuurlijke reeks 'diatonisch syntanon' van Ptolemeus
• Greenhill 2: is gelijk de toonschaal, die de basis vormt voor de stemming van de Schotse Highland Bagpipe.
• Greenhill 3: is een stemming volgens Didymus (1e eeuw v.C.)
• Greenhill 4: zover bekend, niet identificeerbaar
• Greenhill 5: is een oud-Arabische luit-stemming (Safi al-Din)
• Greenhill 6: zover bekend, niet identificeerbaar

Zonder verder op de afleiding in te gaan (zie daarvoor Vormen en Technieken: Cerdd dant. Deel 2. Het Robert-ap-Huw-manuscript: de stemming, temperering en speeltechniek: Stemming en intonatie, komt Greenhill tot de conclusie, dat:

• cras gywair identificeerbaar is met temperering 1 (vanwege de welluidendheid van de grote tertsen, terwijl specifieke kwinten in het spel werden vermeden)
• go gywair met temperering 2 (de basis toonschaal voor de Great Highland Bagpipe)(vanwege de welluidendheid van de grote tertsen, met het bewust verzwijgen van enkele specifieke kwinten).
• lleddf gywair met temperering 3 (vanwege de welluidendhied van de grote tertsen, met verzwijging van sommige kwinten)
• bragod gywair identificeerbaar is met een ¼-komma middentoonstemming (vanwege de welluidendheid van de grote tertsen en de toepasbaarheid van alle beschikbare reine kwinten)
• uwch gywair met de ¹/3-komma middentoonstemming (vanwege de welluidendheid van de kleine tertsen en toepasbaarheid van alle beschikbare reine kwinten)
• is gywair met de ongetempereerde pythagoreïsche stemming (waarin tertsen zoveel mogelijk werden vermeden)

Scordatura

Het RaH-MS zelf, geeft eveneens een aanwijzing voor het bestaan van een alternatieve harpstemming, hetgeen onder het kopje lleddf gower gwyddel [Lleddf: zacht, kalm, teder en vredig. Gwyddel: Ier ('Irishman')] op pag. 109 wordt geïllustreerd. Hierin blijkt een duidelijk aanwijzing, dat de toon ♭|, naar b| kan worden verhoogd. Ap Huw geeft dit aan, door expliciet onder de b een kruisteken te plaatsen. De uitdrukking lleddf gower gwyddel, is overigens niet dezelfde als die van één van de vijf 'hoofd'-cyweiriau: lleddf gywair. Het woord 'gwyddel' ('Irishman') verwijst naar Ierland, waarmee het aannemelijk is, dat er een Ierse of Hiberno-Noorse speeltraditie bestond, die blijkbaar afweek van die van Wales.

Robert ap Huw: lleddf gower gwyddel, p. 109. De kruizen (b-quadratum) hebben volgens Greenhill, niets te maken met een van de voorgeschreven cywairiau. Doch, zou eerder op een aanpassing binnen een andere speeltraditie wijzen. Het woord gwydell, refereert naar Ierland, alwaar de Hiberno-Noorse praktijk mogelijk een andere traditie volgde dan die in Wales.(Greenhill, 2000)

6. De stemming en temperering van de Great Highland Bagpipe (GHB)

6.1 De stemming van de GHB

De negen tonen, die door middel van de chanter van de GHB of pìob mhór tot klinken worden gebracht, worden in de pipe- en piobaireachd-terminologie aangeduid met:

• in absolute zin: de toonhoogte van de basistoon a¹;
• in relatieve zin: de intervallen van de betrokken tonen, m.a.w. de temperering.

6.2 Pitchhoogte van de 'A'

6.3 Temperering van de GHB

Het onderzoek van Lenihan en McNeill, leverde de onderstaande, tegenwoordig gangbare temperering op:

Belangrijk bij deze intonatie zijn allicht de welluidendheid van de diverse intervallen ten opzichte van de droneklanken. Deze temperering is reeds in de vorige paragraaf besproken, inzake de stemming en intonatie voor de harp voor de cerdd dant van Wales. Met deze temperering werd de intonatie met de aanduiding gogywair geïdentificeerd. De eigenschap hiervan zijn de natuurzuivere grote tertsen en een beperkt aantal goedklinkende reine kwinten.

7. Intonatie bij de uilleann pipes

Er zijn twee tonen die een uitzondering vormen. Dat is de zogenaamde 'piper's-C', dit is een toon, die zich in het laagste octaaf (d¹ - d²) bevindt en tussen de c¹ en c#¹, door middel van de vingerzetting, wordt geïntoneerd (Ó Canainn, 1978/1993).
Verder is er nog de vaste toon, die 'ghost D' wordt genoemd, deze toon ligt in de buurt van de tonen d#¹ en d#² (Clarke, 1998). Eigen meting van de bovenste 'ghost D', levert een frequentie van 609 Hz (auteur BGD). Deze toon bevindt zich tussen de 'evenredig zwevende' d² (587,3 Hz) en d#² (622,2 Hz) in.
Vanuit c² gerekend, bedraagt de 'ghost D' 262,9 cents. Vergelijk hiermee, de 300 cents voor de 'evenredig zwevende' d#².

8. Intonatie bij sean-nós-zang

Een toonanalyse van het sean-nós-lied Eamonn a Chnuic ('Edmund from the Hill'), zoals deze door Richard Henebry is uitgevoerd. De getallen, die voorzien zijn van een 'o', zijn gemeten intervallen in cents. De overige getallen zijn gemeten toonfrequenties. Bron: (Henebry, 1928)

De volgende tabel geeft de gemiddelde waarden in cents van grote secunden, die aan de hand van Henebry's metingen, door David Cooper zijn uitgerekend. Hieruit blijkt ook grote mate van flexibiliteit van de zangers. De grote secunde van de evenredig zwevende temperatuur bedraagt 200 cents (Cooper, 2005):

Cooper meldt verder in zijn artikel On Imagining the Mediterranean, dat hij bij het bestuderen van de stijl van de Ulster-fiddler en -zanger Joe Holmes een uitgesproken tendens heeft waargenomen, waarbij de leidtoon (noot 4) een middenpositie tussen de submediant (6e toon) en de bovenste grondtoon inneemt. In het voorbeeld van de toonladder van C, bevindt de B zich een ca. 3/4 toon (ca. 150 cents) boven de A en een ca. 3/4 toon onder de c.
Frappant in dit verband is, dat de 3/4-toon een gangbaar interval in de Arabische maqâmat (modi) is. Doch, in tegenstelling tot de Arabische muziek, heeft het aanwenden van de 3/4-toon-interval door de Ieren geen theoretische betekenis, maar is mede het resultaat van de flexibile benadering door de Ierse zangers van de traditionele modaliteit.(Cooper, 2005).

9. Intonatie bij het volkslied van Wales

Quasi-dorische toonladder, hier in de stamvorm (D) genoteerd

10. Annotaties en bronnen

10.1 Voetnoten

1. Inzake de Ptolemeïsche reeks. Willemze spreekt in dit verband van de reine stemming volgens Zarlino (Willemze, 1975).

   Willemze noemt nog een vorm van een diatonische natuurreeks, n.l. die van Aristoxenus (Willemze, 1975), alhoewel ik deze tot nu toe niet vanuit een andere bron bevestigd kon krijgen:

   Naar Willemze: Diatonische natuuurreeks volgens Aristoxenus.

2. Het verband tussen de menselijke perceptie (zintuiglijke waarneming/interpretatie) en meetbare fysische grootheden, is te herleiden vanuit de toepassing z.g.n. psychofysische wetten. Deze wetten zijn feitelijk wiskundige operatoren, die het verband tussen perceptie en fysische grootheid goed benaderen. De eerste onderzoekingen op dit gebied zijn gedaan door de arts/natuurkundige Ernst Heinrich Weber (1795-1878) en psycholoog/natuurkundige Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Het resultaat hiervan is het wiskundig verband, die bekend staat als de wet van Fechner-Weber (ook Weber-Fechner). Deze wet impliceert, dat het verschil tussen twee percepties (G₂ en G₁) is te vertalen als de logaritme van de verhouding van twee meetbare fysische realiteiten (I₂ en I₁):
   
   G₂ - G₁ = C. log (I₂/I₁),
   waarin C een evenredigheidsconstante is, die afhankelijk van het type waarneming kan worden aangepast. Deze wet kent diverse implicaties op het gebied van bijvoorbeeld visuele sterrenkunde [zgn. stermagnituden of visuele lichtsterkte-verschillen tussen twee sterren, m₂ - m₁ = 2,5.log(s₂/s₁)], geluidsniveau [eenheid decibel: geluidsniveau (dB) = 10. log(I₁/I₂) ] en spectrofotometrie [lichtabsorptie of extinctie : E = log I₀/I].

   De Engelse filoloog en wiskundige Alexander J. Ellis (1814-1890) introduceerde het begrip cents en paste deze toe in zijn vertaling van Helmholz 'Die Lehre von den Tonempfindungen' (1895). Het aantal cents wordt uitgerekend door middel van de formule:

   Hierin is n, het getal in cents, a/b de frequentie verhouding van het betreffende interval. Het getal 1200 is een evenredigheidsfactor, indien de logaritme voor het grondgetal 2 wordt gebruikt. Bij het gebruik van een rekenmachine is het handig om de formule ter herschrijven voor een logaritme voor het grondgetal 10. De evenredigheidsfactor bedraagt dan ≈3.986,3137:

   Per definitie geldt derhalve:

   Het komt er op neer, dat op de frequentieverhoudingen van de tonen, een wiskundige (logaritmische) operatie wordt uitgevoerd, zodat de grondtoon het cijfer 0 (nul) krijgt en het octaaf boven de grondtoon het getal 1200. De overige, tussenliggende tonen worden dan over het gebied tussen 0 en 1200 verdeeld.
   

   Voor hetzelfde doel, werd tijdens de 19e eeuw ook de eenheid savart ingevoerd, genoemd naar de Franse arts en natuurkundige Félix Savart. Doch deze eenheid is in de loop der tijd meer in onbruik geraakt:

3. Logaritme. De logaritme wordt als volgt gedefinieerd:
   
   Als x = a^y, dan is ^alog a^y = y.
   
   Hierbij is a het zgn. grondtal van de logaritme (feitelijk de grondtal van de machtsverheffing). Vaak wordt het grondtal 10 toegepast, doch ander grondtallen zijn ook mogelijk. Bij toepassing van het grondtal 10 wordt de schrijfwijze ¹⁰log vaak vervangen door de 10 weg te laten of kortweg 'log' te gebruiken.
   Men kan de logaritme van het ene grondtal (g) naar het andere grondtal (g') omzetten door middel van:

   ^g'log a = (^glog a)/(^glog g').
   
   Bijvoorbeeld: ²log a = ¹⁰log a/¹⁰log 2 → ²log a ≈ 3,3219.¹⁰log a

   Andere eigenschappen van logaritmen zijn:

   • log a is positief als a > 1
   • log a = 0 als a = 1
   • log a is negatief als 0 < a < 1
   • log a is onbestaanbaar als a ≤ 0
   
   
   
   • log (a/b) = -log (b/a)
   • log(a/b) = log a - log b
   • log (a.b)= log a + log b
4. Vanaf de 16e eeuw zijn er diverse interpretaties van de factor ¹²√2 ontwikkeld. De reden hiervan was dat het wiskundig lastig lag om de juiste lengte van deze waarde te projecteren op het monochord. Hiervoor ontwikkelde men diverse numerieke en meetkundige modellen om dit te verwezenlijken. De volgende benaderingen werden geleverd:

   12√2		≈ 1,0594630943592952645618252949463
   Hô Tchhêng Thyên (AD 400)	9000/8466	≈ 1,0630758327427356484762579730687
   Vincenzo Galileï (1581)	empirisch: 18/17	≈ 1,0588235294117647058823529411765
   Simon Stevin (1596)	10000/9438	≈ 1,0595465140919686374231828777283
   Mersenne (1637)	51192/448319	≈ 1,0594590119828638837724290651711

5. De leidtoon is de 7e toon van een majeur- of harmonisch-mineur-toonladder, waarvan de spanning kan oplost naar de grondtoon. B.v. in de toonladder van C: C-D-EF-G-A-Bc, is de toon B de leidtoon die oplost naar c. Zie ook: Hoofdstuk Toonsystematiek: Tonaal systeem.

10.2 Geraadpleegde bronnen

Literatuur

• Willemze, Th.; Algemene muziekleer, 6e druk; 1975 ; Het Spectrum, Utrecht; p. 41-62, 92-103, 122-127
• Willemze, Th.; Spectrum Muziek Lexicon, 5e druk; 1991; Het Spectrum, Utrecht; p. 183
• Strietman, W.F.; Geluidsleer, uit: Muziekleer; ca. 1982; Leidse Onderwijsinstellingen, Leiderdorp; VAK866G; Les 1-3
• Parch, H.; Genesis of a Music; 1974; Da Capo Press, New York; p. 67-75
• Greenhill, P.; The Robert ap Huw Manuscript: An Exploration, III, Tuning; 2000; privé dissertatie voor Centre for Advanced Welsh Music Studies; p. 74-97 (Met dank aan Sally Harper en Peter Greenhill voor het ter beschikking stellen)
• Brown, B.; Affirming an ancient intonation; 2009; Piping Today, nr. 38; The National Piping Centre, Glasgow; p. 2-5
  (On line beschikbaar; www.pibroch.net)
• Helmholtz, H.L.F.; A.J. Ellis; Sensations of Tone, As a Physiological Basis for the Theory of Music; vert. van H.L.F. Helmholtz; Die Lehre von den Tonempfdungen als Physiologische Grundlage für die Theorie der Music; 1895; Longmans, Green and Co.; London, New York; p. 13, 446-515
  (On line beschikbaar; Internet Archive, American Libraries)
• Barbour, J.M.; Tuning and Temperament; 1951; Michigan State College Press, East Lansing; p. 6, 20, 26-62, 134-140, 153-155, 162
  (On line beschikbaar; Internet Archive, Universal Library)
• Brosius, A.T.; Well-tempered clavier; In: S. Sadie, J. Tyrell (red.); New Grove Dictionary of Music and Musicians, 2nd edition, vol. 27; 2001; MacMillan Publishers, London, Grove's Dictionaries, New York; p. 274-278.
• Rasch, R.; Tuning and temperament; In: Christensen, Th. (red.); The Cambridge History of Western Music Theory; 2002; Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore, São Paulo, Delhi; p. 193-204
• Bunting E.; The Ancient Music of Ireland; 1840; Hodges and Smith, Dublin. Facsimile: 2000, Dover Publications, Mineola, New York; p. 23
• Greenhill, P.; The Robert ap Huw Manuscript: An Exploration, III, Tuning; 2000; privé dissertatie voor Centre for Advanced Welsh Music Studies; p. 1-105 (Met dank aan Sally Harper en Peter Greenhill voor het ter beschikking stellen)
  Update: de Robert ap Huw-essays van Peter Greenhill zijn sinds oktober 2010 on line beschikbaar op Ross Andersons Music Page
• Collinson, F.; The Traditional and National Music of Schotland; 1966; Routledge & Kegan Paul, London, Henley en Boston; p. 174-198
• Ó Canainn, T.; Traditional Music of Ireland; 1978/1993; Ossian Publications, Cork (IE), Edinburgh (UK-Scotland), Loughborough (UK), Loudon, New Hampshire (USA); p. 87
• Clarke, H.J.; Uilleann Piping, 5th edition; 1998; Ossian Publications, Cork, Ireland; p. 42
• Henebry, R.; A Handbook of Irish Music; 1928; Cork University Press; p. 282-314
• Williams, W.S.G.; Welsh National Music and Dance; 1932; J. Curwen and Sons Ltd, London/ Curwen Inc., Philadelphia; p.64, 65
• Cooper, D.; On Imagining the Mediterranean; In: Cooper, D., Dawe, K. (red.), The Mediterranean in Music; 2005; The Scarecrow Press, Inc., Lanham, Toronto, Oxford; p. 211, 214

Naslagwerken

• Blom, E. (red.); Grove's Dictionary of Music and Musicians; 1954/1962; St. Martin's Press Inc., New York
• Wiggers, A.J., Lissens, R.F., Devreker, A., Kooy, G.A., Lauwerier, H.A. (red.); Grote Winkler Prins; 1973; Elsevier, Amsterdam, Brussel.

Www

• Schulter, M.; Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony; 1998; Onderdeel van de website Medieval Music & Arts Foundation; CA
• Broekaert, J.; Harmonie en Melodie, Het stemmen van klassieke muziekinstrumenten bij middel van objectieve toonhoogtemeting; 2002; BE
  (Met referenties naar: Kellekat; H.; Zur musikalischen Temperatur I, II en III; 1981, 1982, 1994; Edition Merseburger, Kassel)

10.3 Aanvullende informatie

Www

• Redactioneel; Stichting Huygens-Fokker, Centrum voor microtonale muziek; NL
• Lewis, P.; Understanding Temperaments (pdf-bestand); 1978, 1998; USA